1 . 设函数的定义域为I，区间，记.证明：
（1）函数在区间D上单调递增的充要条件是：，都有；
（2）函数在区间D上单调递减的充要条件是：，都有.

2 . 设定义域为的函数同时满足以下三个条件时称为“友谊函数”：①对任意的，总有；②；③则有成立．
请根据以上信息回答下列问题：
（1）若为“友谊函数”，求；
（2）证明函数在区间上是“友谊函数”；
（3）若为“友谊函数”，且，比较与的大小.

3 . 已知是定义在上的奇函数.
（1）求与的值；
（2）判断的单调性，并用单调性定义加以证明；
（3）若时，试比较与的大小.

4 . 已知函数存在两个极值点，且，
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：当时，对任意不相等的正实数、，有．

5 . 函数，
（1）若，求的单调区间；
（2）若，求证：；
（3）若关于的方程有四个不同的实数根，求实数的取值范围.

6 . 已知定义在上的函数，满足，而且当时，有．
（1）求证：在上是增函数；
（2）判断与的大小，并说明理由．

7 . 已知定义在上的增函数，有下列命题：如果，那么.
（1）若，判断原命题是否正确，并说明理由；
（2）试写出原命题的逆命题，并证明它是真命题；
（3）解不等式：.

8 . 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明函数在上是增函数；
（3）比较与的大小.

9 . 如果存在常数（），对于任意，都有成立，那么称该函数为“函数”.
（1）分别判断函数，是否为“函数”，若不是，说明理由；
（2）若函数是“函数”，求实数的取值范围；
（3）记所有定义在上的单调函数组成的集合为，所有函数组成的集合为，求证：.

10 . 已知函数，．
（Ⅰ）证明：在区间上是增函数；
（Ⅱ）比较与的大小（是自然对数的底数）．