1 . 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题，
(1)已知向量满足，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
(3)已知向量，求的最小值.

2 . 定义运算“”满足:为从向量按逆时针方向到向量的夹角，向量垂直于所确定的平面，当时，其垂直平面的方向向上；当时，其垂直平面的方向向下，下列说法一定正确的有__________.（填序号）
①；②；③；④；⑤当时，；⑥.

3 . 元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．
(1)设，解决下面问题：
①求；
②设与的夹角为，求；
(2)对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：．

4 . 设向量，，当，且时，则记作；当，且时，则记作，有下面四个结论：
①若，，则；
②若且，则；
③若，则对于任意向量，都有；
④若，则对于任意向量，都有；
其中所有正确结论的序号为（       ）

A．①②③

B．②③④

C．①③

D．①④

5 . 在第六章 平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算.那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和矢量积.这些我们还都没学到.现在我们重新定义一种向量的乘法运算：若，，则.请按这种运算，解答如下两道题.
(1)已知，，求.
(2)已知，，求.

6 . 定义两个向量之间的运算“”为.其中，，若向量，则向量等于（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：
①若P是的重心，则有；
②若成立，则P是的内心；
③若，则；
④若P是的外心，，，则；
⑤若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，O为内的一点且为内心.若，则的最大值为.
则正确的命题有________.（填序号）
   

8 . 对于三维向量，定义“变换”：，其中，．记，．

(1)若，求及；
(2)证明：对于任意，经过若干次变换后，必存在，使；
(3)已知，将再经过次变换后，最小，求的最小值．

9 . 如图，平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为.
          
(1)记向量，，求向量在这个基下的斜坐标；
(2)设，，求；
(3)请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题.

10 . 设平面向量、的夹角为，．已知，，．
(1)求的解析式；
(2)若﹐证明：不等式在上恒成立．