解题方法
1 . 对于,若数列满足,则称这个数列为“K数列”.
(1)已知数列1,2m,是“K数列”,求实数m的取值范围.
(2)是否存在首项为的等差数列为“K数列”,且其前n项和使得恒成立?若存在,求出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.
(3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”,数列不是“K数列”,若,试判断数列是否为“K数列”,并说明理由.
(1)已知数列1,2m,是“K数列”,求实数m的取值范围.
(2)是否存在首项为的等差数列为“K数列”,且其前n项和使得恒成立?若存在,求出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.
(3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”,数列不是“K数列”,若,试判断数列是否为“K数列”,并说明理由.
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2024-09-09更新
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419次组卷
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2卷引用:湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷
2 . 已知是各项均为正整数的无穷递增数列,对于,定义集合,设为集合中元素的个数,若时,规定.
(1)若,则______ ;
(2)若数列是等差数列,则数列的前50项之和为______ .
(1)若,则
(2)若数列是等差数列,则数列的前50项之和为
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3 . 角谷猜想,也称为“”猜想.其内容是:任取一个正整数,如果是偶数,将它除以2;如果是奇数,则将它乘以3再加上1,如此反复运算,该数最终将变为1.这就是对一个正整数运算时“万数归1”现象的猜想.假如对任意正整数,按照上述规则实施第1次运算后的结果记为,实施第2次运算后的结果记为,…,实施第次运算后的结果记为,实施第n次运算后得到数1,停止运算,便可以得到有穷数列,1,其递推关系式为:叫做数列的原始项.将此递推关系式推广为:(,且),其它规则不变,得到的数列记作数列,试解答以下问题:
(1)若,则数列的项数为______;
(2)求数列的原始项的所有可能取值构成的集合;
(3)若对任意的数列,均有,求d的最小值.
(1)若,则数列的项数为______;
(2)求数列的原始项的所有可能取值构成的集合;
(3)若对任意的数列,均有,求d的最小值.
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4 . 将个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列,对任意,如果,那么称数对构成数列的一个逆序对,一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数.
(1)若将1,2,3,4四个数构成的数列恰有2个逆序对,请写出符合条件的数列组合;
(2)计算以下数列的逆序数.
(ⅰ);
(ⅱ);
(3)已知数列,,…,的逆序数为,求,,…,的逆序数.
(1)若将1,2,3,4四个数构成的数列恰有2个逆序对,请写出符合条件的数列组合;
(2)计算以下数列的逆序数.
(ⅰ);
(ⅱ);
(3)已知数列,,…,的逆序数为,求,,…,的逆序数.
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2024-08-08更新
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482次组卷
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4卷引用:湖南省永州市第一中学2024-2025学年高三上学期8月月考数学试题
名校
5 . 在股票市场中,股票的价格是有界的,投资者通常会通过价格的变化来确保自己的风险,这种变化的价格类似于我们数学中的数列,定义如果存在正数,使得对一切正整数,都有,则称为有界数列,数列收敛指数列有极限,我们把极限存在(不含无穷大)的数列称为收敛数列,如数列,显然对一切正整数都有,而的极限为,即数列既有界也收敛.如数列,显然对一切正整数都有,但不存在极限,即数列有界但不收敛.下列数列是有界数列但不收敛的数列有( )
A. | B. |
C. | D. |
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6 . 如果数列满足:且 则称为n阶“归化”数列.
(1)若某3阶“归化”数列是等差数列,且单调递增,写出该数列的各项;
(2)若某11阶“归化”数列是等差数列,求该数列的通项公式;
(3)若为n阶“归化”数列,求证
(1)若某3阶“归化”数列是等差数列,且单调递增,写出该数列的各项;
(2)若某11阶“归化”数列是等差数列,求该数列的通项公式;
(3)若为n阶“归化”数列,求证
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2024-07-20更新
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379次组卷
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4卷引用:湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高三上学期8月月考数学试题
解题方法
7 . 给定整数,数列,且,为整数.在中去掉一项,并将剩下的数分成项数相同的两组,其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为.将中的最小值称为数列的特征值.
(1)已知数列,写出的值及的特征值;
(2)若,当,其中,且时,证明:;
(3)已知数列的特征值为,求的最小值.
(1)已知数列,写出的值及的特征值;
(2)若,当,其中,且时,证明:;
(3)已知数列的特征值为,求的最小值.
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名校
解题方法
8 . 卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用.一般地,对无穷数列,,定义无穷数列,记作,称为与的卷积.卷积运算有如图所示的直观含义,即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和,易知有交换律.(1)若,,,求,,,;
(2)对,定义如下:①当时,;②当时,为满足通项的数列,即将的每一项向后平移项,前项都取为0.试找到数列,使得;
(3)若,,证明:当时,.
(2)对,定义如下:①当时,;②当时,为满足通项的数列,即将的每一项向后平移项,前项都取为0.试找到数列,使得;
(3)若,,证明:当时,.
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2024-05-28更新
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822次组卷
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3卷引用:湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一数学试题
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期保温卷一数学试题浙江省(杭州二中、绍兴一中、温州中学、金华一中、衢州二中)五校联考2024届高考数学模拟卷(已下线)拔高点突破01 新情景、新定义下的数列问题(七大题型)
9 . “序列”在通信技术中有着重要应用,该序列中的数取值于或1.设是一个有限“序列”,表示把中每个都变为,每个0都变为,每个1都变为0,1,得到新的有序实数组.例如:,则.定义,,若中1的个数记为,则的前10项和为______ .
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2024-05-14更新
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480次组卷
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3卷引用:湖南省益阳市2024届高三下学期5月适应性考试数学试题
名校
10 . 若数列的各项均为正数,对任意,有,则称数列为“对数凹性”数列.
(1)已知数列1,3,2,4和数列1,2,4,3,2,判断它们是否为“对数凹性”数列,并说明理由;
(2)若函数有三个零点,其中.
证明:数列为“对数凹性”数列;
(3)若数列的各项均为正数,,记的前n项和为,,对任意三个不相等正整数p,q,r,存在常数t,使得.
证明:数列为“对数凹性”数列.
(1)已知数列1,3,2,4和数列1,2,4,3,2,判断它们是否为“对数凹性”数列,并说明理由;
(2)若函数有三个零点,其中.
证明:数列为“对数凹性”数列;
(3)若数列的各项均为正数,,记的前n项和为,,对任意三个不相等正整数p,q,r,存在常数t,使得.
证明:数列为“对数凹性”数列.
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2024-05-13更新
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1163次组卷
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5卷引用:湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高三上学期8月阶段检测数学试卷
湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高三上学期8月阶段检测数学试卷山东省枣庄市2024届高三三调数学试题山东省青岛市2024届高三下学期第二次适应性检测数学试题(已下线)山东省济南市2024届高三下学期5月适应性考试(三模)数学试题(已下线)专题3 数列中的新定义压轴大题(过关集训)