1 . 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805～1859）在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”，其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，其中真命题是（     ）

A．

B．任取一个不为零的有理数对任意的恒成立

C．恒成立

D．存在三个点，使得为等腰直角三角形

2 . 古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形中，

(1)若，，(图1)，求线段长度的最大值；
(2)若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值．

3 . 【新知阅读】
定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．
(1)①若，，则____“准直角三角形”；（填“是”或“不是”）
②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为_________.
【新知运用】
(2)如图①，在中，，是的角平分线．求证：是“准直角三角形”；

   

(3)如图②，在中，，，，点在边上，若是“准直角三角形”，求的长；

   

【新知拓展】
(4)如图③，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形”，求的长，请直接写出答案.

   

4 . 复数，且在复平面上对应的点在第一象限．
(1)若，求复数的模；
(2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值．

5 . 如图，在中，，，，，.

(1)求的值；
(2)线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的位置，若不存在，请说明理由；
(3)若是内一点，且满足，求的最小值.

6 . 设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（     ）

A．	B．或
C．	D．

7 . 沪苏通长江公铁大桥（如图1）是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图2），设乘客眼睛离地面的距离为，．若，，在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔高为（       ）．

   

A．

B．

C．

D．

8 . “无想山国家森林公园”位于南京市溧水区城南新区，总面积约平方千米，平均海拔米，拥有天池、无想湖等多个天然和人工湖泊，以及壮观的松林景观和竹海景观，森林覆盖率为，空气质量常年保持一级标准.无想山景区山清水秀，文化底蕴深厚，自古被誉为“溧水第一胜境”.为了方便市民休闲、观光和锻炼，溧水区政府决定在无想山脚下挖掘一个人工湖.人工湖设计呈凸四边形形状，记为四边形，并规划百米，百米.
(1)设计师发现无论多长，为一个定值，请你验证设计师的结论，并求出这个定值；
(2)为了能容纳更多的游船，人工湖的面积越大越好，问怎样设计才能使人工湖的面积最大？并求出最大值.

9 . 在锐角三角形中，，．

(1)设，试用表示的周长，并确定的取值范围；
(2)如图，设为的外角平分线的交点，为与延长线的交点．
（ⅰ）用正弦定理证明：；
（ⅱ）设，分别为与同向共线的单位向量，且，求实数的取值范围．

10 . 在中，化简“______”，并利用该等式证明余弦定理和正弦定理．