1 . 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC₁存在点D，使得AD⊥A₁B，并求的值.

2 . 已知函数，且
(1)求解析式；
(2)判断并证明函数在区间的单调性.

3 . 已知，其中常数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个零点，求证：.

4 . 如图，已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中.为棱的中点.

(1)证明:平面；
(2)求三棱锥的体积.

5 . 已知函数（）满足：，当时，，且；
（1）证明：是定义域上的减函数；
（2）解不等式.

6 . 已知函数 ，.
(1)求的值；
(2)试判断并证明函数的奇偶性；
(3)试判断并证明函数在区间上的单调性并求的值域．

7 . 已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，
求证：点在定圆上.