1 . 已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；
(3)过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点.

2 . 如图，四棱锥中，，，为的中点．

(1)求证：平面.
(2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．

3 . 在极坐标系中，，， ，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，已知直线1的参数方程为( t为参数，)，且点P的直角坐标为.
（1）求经过O，A，B三点的圆C的直角坐标方程；
（2）求证：直线l与（1）中的圆C有两个交点M，N，并证明为定值.

4 . 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面平面是的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，证明：

5 . 对于给定的抛物线，使得实数p、q满足.
（1）若，求证：抛物线与x轴有交点.
（2）证明：抛物线的最大值大于等于抛物线的最小值.

6 . （1）已知是实数，求证：．
（2）用分析法证明：．

7 . （1）用数学归纳法证明：
（2）用反证法证明：已知，且，求证中至少有一个大于1.

8 . 已知数列满足，，.
（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.

9 . 如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，点是上的点，且．将△AED，△DCF分别沿，折起，使，两点重合于，连接，.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）试判断与平面的位置关系，并给出证明.

10 . 已知正项数列满足且.
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）证明：数列的前项和.