1 . 已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：为直角三角形；
(3)若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围.

2 . 已知函数，，为的导函数.
(1)若直线是曲线的切线，求实数的值；
(2)求的最大值；
(3)设是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为，记直线的斜率为，证明：.

4 . 已知函数（为常数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若为整数，函数恰好有两个零点，求的值.

5 . 已知圆：，椭圆：的离心率为，圆上任意一点处的切线交椭圆于两点，，当恰好位于轴上时，的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

6 . 已知函数，其中 ．
（1）求的单调区间；
（2）求证：＜