1 . 正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，又称为柏拉图多面体，因为柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名．自然界中有许多的柏拉图多面体，如甲烷、金刚石分子结构模型都是正四面体，氯化钠的分子结构模型是正六面体，萤石的结晶体有时是正八面体，硫化体的结晶体有时会接近正十二面体的形状……柏拉图多面体满足性质：（其中V，F和E分别表示多面体的顶点数，面数和棱数）．

(1)正十二面体共有几条棱，几个顶点？
(2)如图所示的正方体中，点为正方体六个面的中心，假设几何体的体积为，正方体的体积为，求的值；
(3)判断柏拉图多面体有多少种？并说明理由．

2 . （1）已知函数，证明：，，．
（2）已知函数，定义：若存在，，使得曲线在点与点处有相同的切线，则称切线为“自公切线”．
①证明：当时，曲线不存在“自公切线”；
②讨论曲线的“自公切线”的条数．

3 . 函数是我们最熟悉的函数之一，它是奇函数，且y轴和直线是它的渐近线，在第一象限和第三象限存在图象，其图象实质是圆锥曲线中的双曲线.

(1)函数的图象不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，求其对称轴l的方程；
(2)若保持原点不动，长度单位不变，只改变坐标轴的方向的坐标系的变换，叫坐标系的旋转，简称转轴.
（i）请采用适当的变换方法，求函数变换后所对应的双曲线标准方程；
（ii）已知函数图象上任一点到平面内定点的距离差的绝对值为定值，以线段为直径的圆与的图象一个交点为，求的面积.

4 . 帕德近似是利用分式有理函数逼近任意函数的一种方法，定义分式函数为的阶帕德逼近，其分子是m次多项式，分母是n次多项式，且满足，，，…，时，为在处的帕德逼近．
(1)求函数在处的阶帕德逼近；
(2)已知函数．
①讨论的单调性；
②若有3个不同零点，，，证明：．

5 . 函数有三个不同极值点，且.则（       ）

A．	B．
C．的最大值为3	D．的最大值为1

6 . 若函数有个零点，且从小到大排列依次为，定义如下：．已知函数（其中为实数）．
(1)设是的导函数，试比较和的大小；
(2)若，求的取值范围；
(3)对任意正实数，证明：．

7 . 定义空间中既有大小又有方向的量为空间向量．起点为，终点为的空间向量记作，其大小称为的模，记作等于两点间的距离．模为零的向量称为零向量，记作．空间向量的加法、减法以及数乘运算的定义与性质和平面向量一致，如：对任意空间向量，均有，，；对任意实数和空间向量，均有；对任意三点，均有等．已知体积为的三棱锥的底面均为，在中，是内一点，．记．
(1)若到平面的距离均为1，求；
(2)若是的重心，且对任意，均有．
（i）求的最大值；
（ii）当最大时，5个分别由24个实数组成的24元数组满足对任意，均有，且对任意均有求证：不可能对任意及均成立．
（参考公式：）

8 . 我们称各项均不相等的正项数列为“冒泡数列”，对任意冒泡数列，我们按如下步骤进行操作，称为“冒泡操作”
比较的大小，若，则交换的位置；
设前述所有步骤后数列变为，比较的大小，若，则交换的位置，再继续比较的大小，若，再交换；
设前述所有步骤后数列变为，比较的大小，若，则交换的位置，再继续比较的大小，，直到比较得到时或者调整位置至首位时停止比较和交换位置，并进行下一步；
设前述所有步骤后数列变为，比较的大小，若，则交换的位置，再继续比较的大小，…，直到比较得到或者调整位置至首位时结束操作．
(1)请对数列5，3，2，9，7作冒泡操作，可表示为请写出操作结束后得到的数列，并计算交换位置的次数．
(2)对于某个项冒泡数列当其完成冒泡操作时的总的交换位置的次数称为其“交换复杂度”，记为
（i）求的最小值和最大值；
（ii）对于某个项冒泡数列及其各项全排列产生的所有不同数列，其交换复杂度的平均数记为，求的通项．

9 . 数列满足则称数列为下凸数列.
(1)证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；
(2)设，其中，分别是公比为，的两个正项等比数列，且，证明：是下凸数列且不是等比数列；
(3)若正项下凸数列的前项和为，且，求证：.

10 . 高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中是复数的模，称为复数的辐角，若，则称为复数的辐角主值，记为.复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果，那么，这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题：
(1)求复数，的模和辐角主值（用表示）；
(2)设，，若存在满足，那么这样的有多少个？
(3)求和：