1 . 在直角坐标系xOy中，已知点，直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足：.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)设直线l交曲线C于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2，证明:直线l过定点.

2 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在有两个极值点，求证：.

4 . 已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底．
(1)分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；
①，；
②，．
(2)若集合是集合的一个元基底，证明：；
(3)若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底．

7 . 如图，在四边形中，，是线段上的一动点，.

（1）当时，__________.
（2）当时，点到的距离是__________.

8 . 已知一个正方形的四个顶点都在函数的图象上，则此正方形的面积为__．

9 . 已知函数，其中为常数．
(1)当时，解不等式的解集；
(2)当时，写出函数的单调区间；
(3)若在上存在2021个不同的实数，，使得，求实数的取值范围．

10 . 已知，，以下命题正确的是______.（写出所有正确命题的序号）
①若，则；②若，，则；
③恒成立；④恒成立.