1 . 如图，椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上，中心为．

(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
(2)直线交椭圆于两点；直线交椭圆于两点，．求证：；
(3)对于（2）中的中的在，，，，设交轴于点，交轴于点，求证：（证明过程不考虑或垂直于轴的情形）

2 . 对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．
(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；
(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．

3 . 已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．

4 . 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．

时段	价格变化
第1天到第20天	-	+	+	0	-	-	-	+	+	0	+	0	-	-	+	-	+	0	0	+
第21天到第40天	0	+	+	0	-	-	-	+	+	0	+	0	+	-	-	-	+	0	-	+

用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）

5 . 如图，为椭圆的两个顶点，为椭圆的两个焦点．

(1)写出椭圆的方程及准线方程；
(2)过线段上异于O，A的任一点K作的垂线，交椭圆于P，两点，直线与交于点M．求证：点M在双曲线上．

6 . 已知以为直径的半圆有一个内接正方形，其边长为1（如图）．设，作数列；求证：．

7 . 已知函数（m为实数）．
(1)m是什么数值时，y的极值是0？
(2)求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线上，画出时抛物线的草图，来检验这个结论；
(3)平行于的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等．

8 . 如图，是半圆的直径，C是半圆上一点，直线切半圆于C点，于M点，于N点，于D点，求证：

(1)；
(2)．

9 . 在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求n个不同的数的和，计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间，即可完成计算，方法可用下表表示：

机器号	初始时	第一单位时间		第二单位时间		第三单位时间
		被读机号	结果	被读机号	结果	被读机号	结果
1		2
2		1

(1)当时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表：

机器号	初始时	第一单位时间		第二单位时间		第三单位时间
		被读机号	结果	被读机号	结果	被读机号	结果
1
2
3
4

(2)当时，要使所有机器都得到，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）

10 . 设是一个已知圆的内接矩形，过作该圆的切线与的延长线相交于点，与的延长线相交于点．求证：．