1 . “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始,第行从左到右的数字之和记为,如,,,的前项和记为,则下列说法正确的是( )
A.在“杨辉三角”第10行中,从左到右第8个数字是120 |
B. |
C.在“杨辉三角”中,从第2行开始到第行,每一行从左到右的第3个数字之和为 |
D.的前项和为 |
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2 . 已知离散型随机变量服从二项分布且,则的最小值为( )
A.2 | B. | C. | D. |
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3 . 函数,则下列结论错误的是( )
A.在区间上不单调 | B.有两个极值点 |
C.有两个零点 | D.在上有最大值 |
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4 . 我校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间分别是,,,,.(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生数学成绩的平均数,众数和中位数(要求写出计算过程,结果保留一位小数).
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生数学成绩的平均数,众数和中位数(要求写出计算过程,结果保留一位小数).
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5 . 已知编号为的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球,其中1号袋子内装有两个1号球,一个2号球和一个3号球;2号袋子内装有两个1号球,一个3号球;3号袋子内装有三个1号球,两个2号球和一个3号球.现按照如下规则连续摸球两次;第一次先从1号袋子中随机摸出1个球,并将摸出的球放入与球编号相同的袋子中,第二次从刚放入球的袋子中再随机摸出1个球.
(1)若第二次摸到的是3号球,计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自号袋子的概率;
(2)设是样本空间上的两个离散型随机变量,则称是上的二维离散型随机变量.设的一切可能取值为,记表示在中出现的概率,其中.若表示第一次摸出的是号球,表示第二次摸出的是号球.
①求;
②证明:.
(1)若第二次摸到的是3号球,计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自号袋子的概率;
(2)设是样本空间上的两个离散型随机变量,则称是上的二维离散型随机变量.设的一切可能取值为,记表示在中出现的概率,其中.若表示第一次摸出的是号球,表示第二次摸出的是号球.
①求;
②证明:.
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6 . 某校为了解本校学生每天的体育活动时间,随机抽取了100名学生作为样本,统计并绘制了如下的频率分布直方图:(1)估计这100名学生的平均体育活动时间;
(2)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生,再从这12名学生中随机抽取3人,用表示这3人中属于的人数,求的分布列和数学期望;
(3)以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率,若从该校学生中随机抽取且名学生,求当为何值时,“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大?
(2)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生,再从这12名学生中随机抽取3人,用表示这3人中属于的人数,求的分布列和数学期望;
(3)以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率,若从该校学生中随机抽取且名学生,求当为何值时,“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大?
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7 . 某小微企业对其产品研发的年投入金额(单位:万元)与其年销售量(单位:万件)的数据进行统计,整理后得到如下的数据统计表:
(1)公司拟分别用①和②两种模型作为年销售量关于年投入金额的回归分析模型,根据上表数据,分别求出两种模型的经验回归方程;
(2)统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果,若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和4.2,请在①和②中选择拟合效果更好的模型,并估计当年投入金额为10万元时的年销售量.
参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:.
参考数据:,,.
1 | 5 | 7 | 8 | 9 | |
2 | 3 | 6 | 8 | 11 | |
0.7 | 1.1 | 1.8 | 2.1 | 2.4 |
(2)统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果,若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和4.2,请在①和②中选择拟合效果更好的模型,并估计当年投入金额为10万元时的年销售量.
参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:.
参考数据:,,.
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8 . 乒乓球是我国的国球,是一种世界流行的球类体育项目.某学校为了解学生是否喜欢“乒乓球运动”,从全校学生中随机抽取100名学生进行问卷调查.统计数据整理如下:男生喜欢乒乓球运动的人数比女生喜欢乒乓球运动的人数多20人,设事件“喜欢乒乓球运动”,“学生为男生”,,.
(1)完成如图列联表;
(2)依据小概率值的独立性检验,能否认为喜欢乒乓球运动与性别有关联?
参考公式:,其中..
(1)完成如图列联表;
喜欢乒乓球运动 | 不喜欢乒乓球运动 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 | 100 |
参考公式:,其中..
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9 . 已知二项式的展开式中第6项与第7项的系数相等.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)若,求的值.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)若,求的值.
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10 . 如果是离散型随机变量,则在条件下的期望满足,其中是所有可能取值的集合.现甲、乙两选手进行象棋比赛,已知每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为.若表示“甲第一次获胜时已进行的比赛局数”,表示“甲恰好第二次获胜时已进行的比赛局数”,则______ ;______ .(两空均用数字作答.)
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