1 . 设点集，从集合中任取两个不同的点，，定义A，两点间的距离．
(1)求中的点对的个数；
(2)从集合中任取两个不同的点A，，用随机变量表示他们之间的距离，
①求的分布列与期望；
②证明：当足够大时，．（注：当足够大时，）

2 . 泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于的概率约为__________.

3 . 下列命题为真命题的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若的展开式中的常数项为60，则

D．若随机变量的方差，则

4 . 长沙市周南中学高二某班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示．

	团员	非团员	合计
男生	16	9	25
女生	14	6	20
合计	30	15	45

记事件：“在班级里随机选一人，选到男生”
事件：“在班级里随机选一人，选到团员”
下列说法正确的是（       ）

A．事件的对立事件为：“在班级里随机选一人，选到女生”

B．事件与事件互斥

C．，

D．事件与事件相互独立

5 . 定义1   进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等．也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若是一个大于1的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式．如．
定义2   三角形数：形如，即的数叫做三角形数．
(1)若是三角形数，试写出一个满足条件的的值；
(2)若是完全平方数，求的值；
(3)已知，设数列的前项和为，证明：当时，．

6 . 已知动直线与圆恒有两个不同的交点、.设弦的中点为，当变化时，总存在定点使得为定值，则点的坐标______.

7 . 已知椭圆，过椭圆上一动点引圆的两条切线为切点，直线与轴、轴分别交于点．
(1)已知点坐标为，求直线的方程；
(2)若圆的半径为2，且，过椭圆的右焦点作倾斜角不为0的动直线与椭圆交于两点，点在轴上，且为常数，求的面积的最大值．

8 . 如图，已知是圆的弦，为的中点，且在弦上的射影为，则，该定理称为阿基米德折弦定理.在上述定理中，若已知，，点在直线下方，，则过点的圆的方程为__________.

9 . 在平面上，动点与两定点满足（且），则的轨迹是个圆，这个圆称作为阿波罗尼斯圆.已知动点与两定点满足，记的轨迹为圆.则下列结论正确的是（       ）

A．圆方程为：

B．过点作圆的切线，则切线长是

C．过点作圆的切线，则切线方程为

D．直线与圆相交于两点，则的最小值是

10 . 某高中计划2024年寒假安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生志愿者到A、B、C三个社区协助反诈宣传工作，每个社区至少安排1名志愿者，每个志愿者只能安排到1个社区，则所有排法的总数为________．