1 . 如图所示,四边形为梯形,,,,以为一条边作矩形,且,平面平面.
(2)甲同学研究发现并证明了这样一个结论:如果两个平面所成的二面角为,其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为,它们的面积分别记为和,则.乙同学利用甲的这个结论,发现在线段上存在点,使得.请你对乙同学发现的结论进行证明.
(1)求证:;
(2)甲同学研究发现并证明了这样一个结论:如果两个平面所成的二面角为,其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为,它们的面积分别记为和,则.乙同学利用甲的这个结论,发现在线段上存在点,使得.请你对乙同学发现的结论进行证明.
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2 . 已知抛物线上任意一点满足的最小值为(为焦点).
(1)求的方程;
(2)过点的直线经过点且与物线交于两点,求证:;
(3)过作一条倾斜角为的直线交抛物线于两点,过分别作抛物线的切线.两条切线交于点,过任意作一条直线交抛物线于,交直线于点,则满足什么关系?并证明.
(1)求的方程;
(2)过点的直线经过点且与物线交于两点,求证:;
(3)过作一条倾斜角为的直线交抛物线于两点,过分别作抛物线的切线.两条切线交于点,过任意作一条直线交抛物线于,交直线于点,则满足什么关系?并证明.
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3 . 已知动圆过定点且与直线相切,记圆心的轨迹为曲线.
(1)已知、两点的坐标分别为、,直线、的斜率分别为、,证明:;
(2)若点、是轨迹上的两个动点且,设线段的中点为,圆与动点的轨迹交于不同于的三点、、,求证:的重心的横坐标为定值.
(1)已知、两点的坐标分别为、,直线、的斜率分别为、,证明:;
(2)若点、是轨迹上的两个动点且,设线段的中点为,圆与动点的轨迹交于不同于的三点、、,求证:的重心的横坐标为定值.
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名校
解题方法
4 . 若函数在定义域内存在两个不同的数,,同时满足,且在点,处的切线斜率相同,则称为“切合函数”.
(1)证明:为“切合函数”;
(2)若为“切合函数”(其中为自然对数的底数),并设满足条件的两个数为,.
(ⅰ)求证:;
(ⅱ)求证:.
(1)证明:为“切合函数”;
(2)若为“切合函数”(其中为自然对数的底数),并设满足条件的两个数为,.
(ⅰ)求证:;
(ⅱ)求证:.
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2024-01-03更新
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1034次组卷
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4卷引用:微考点2-5 新高考新试卷结构19题压轴题新定义导数试题分类汇编
(已下线)微考点2-5 新高考新试卷结构19题压轴题新定义导数试题分类汇编重庆市南开中学校2024届高三上学期第五次质量检测数学试题重庆市沙坪坝区南开中学校2024届高三上学期第五次质量检测数学试题江西省赣州市南康中学2024届高三上学期新高考“七省联考”考前数学猜题卷(一)
5 . 设自然数,由个不同正整数构成集合,若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合,记为集合元素的个数
(1)已知集合,集合,分别求解.
(2)对于集合,若取得最大值,则称该集合为“极异集合”
①求的最大值(无需证明).
②已知集合是极异集合,记求证:数列的前项和.
(1)已知集合,集合,分别求解.
(2)对于集合,若取得最大值,则称该集合为“极异集合”
①求的最大值(无需证明).
②已知集合是极异集合,记求证:数列的前项和.
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名校
6 . 设a,b为非负整数,m为正整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为.
(1)求证:;
(2)若p是素数,n为不能被p整除的正整数,则,这个定理称之为费马小定理.应用费马小定理解决下列问题:
①证明:对于任意整数x都有;
②求方程的正整数解的个数.
(1)求证:;
(2)若p是素数,n为不能被p整除的正整数,则,这个定理称之为费马小定理.应用费马小定理解决下列问题:
①证明:对于任意整数x都有;
②求方程的正整数解的个数.
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2024-02-27更新
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806次组卷
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5卷引用:压轴题高等数学背景下新定义题(九省联考第19题模式)讲
(已下线)压轴题高等数学背景下新定义题(九省联考第19题模式)讲(已下线)新题型02 新高考新结构竞赛题型十五大考点汇总-2河北省2024届高三下学期大数据应用调研联合测评(V)数学试题河北省沧州市泊头市大数据联考2024届高三下学期2月月考数学试题河北省秦皇岛市昌黎县开学联考2024届高三下学期开学考试数学试题
名校
7 . n个有次序的实数,,,所组成的有序数组称为一个n维向量,其中称为该向量的第个分量.特别地,对一个n维向量,若,,称为n维信号向量.设,,
则和的内积定义为,且.
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量.
(2)证明:不存在14个两两垂直的14维信号向量.
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量,,,满足它们的前m个分量都是相同的,求证:.
则和的内积定义为,且.
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量.
(2)证明:不存在14个两两垂直的14维信号向量.
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量,,,满足它们的前m个分量都是相同的,求证:.
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8 . 如果函数满足:对于任意,均有(m为正整数)成立,则称函数在D上具有“m级”性质.
(1)分别判断函数,,是否在R上具有“1级”性质,并说明理由;
(2)设函数在R具有“m级”性质,对任意的实数a,证明函数具有“m级”性质;
(3)若函数在区间以及区间()上都具有“1级”性质,求证:该函数在区间上具有“1级”性质.
(1)分别判断函数,,是否在R上具有“1级”性质,并说明理由;
(2)设函数在R具有“m级”性质,对任意的实数a,证明函数具有“m级”性质;
(3)若函数在区间以及区间()上都具有“1级”性质,求证:该函数在区间上具有“1级”性质.
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9 . 对于函数,分别在处作函数的切线,记切线与轴的交点分别为,记为数列的第n项,则称数列为函数的“切线-轴数列”,同理记切线与轴的交点分别为,记为数列的第n项,则称数列为函数的“切线-轴数列”
(1)设函数,记“切线-轴数列”为,记为的前n项和,求.
(2)设函数,记“切线-轴数列”为,猜想的通项公式并证明你的结论.
(3)设复数均为不为0的实数,记为的共轭复数,设,记“切线-轴数列”为,求证:对于任意的不为0的实数,总有成立.
(1)设函数,记“切线-轴数列”为,记为的前n项和,求.
(2)设函数,记“切线-轴数列”为,猜想的通项公式并证明你的结论.
(3)设复数均为不为0的实数,记为的共轭复数,设,记“切线-轴数列”为,求证:对于任意的不为0的实数,总有成立.
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2024-01-01更新
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441次组卷
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7卷引用:模块二 专题1 与曲线的切线相关问题(苏教版高二)
(已下线)模块二 专题1 与曲线的切线相关问题(苏教版高二)上海市普陀区桃浦中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题(已下线)模块一专题1【练】《导数的概念、运算及其几何意义》单元检测篇B提升卷(人教A2019版)(已下线)模块二 专题1 与曲线的切线相关问题(已下线)模块二 专题3 与曲线的切线相关问题(人教B版)(已下线)模块一 专题1 《导数的概念、运算及其几何意义》B提升卷(苏教版)(已下线)模块二 专题4 与曲线的切线相关问题(高二北师大版)
名校
10 . 若函数的定义域为,且对于任意的、,“”的充要条件是“”,则称函数为上的“单值函数”.对于函数,记
,,,…,,其中,2,3,…,并对任意的,记集合,并规定.
(1)若,函数的定义域为,求和;
(2)若函数的定义域为,且存在正整数,使得对任意的,,求证:函数为上的“单值函数”;
(3)设,若函数的定义域为,且表达式为:
判断是否为上的“单值函数”,并证明对任意的区间,存在正整数,使得.
,,,…,,其中,2,3,…,并对任意的,记集合,并规定.
(1)若,函数的定义域为,求和;
(2)若函数的定义域为,且存在正整数,使得对任意的,,求证:函数为上的“单值函数”;
(3)设,若函数的定义域为,且表达式为:
判断是否为上的“单值函数”,并证明对任意的区间,存在正整数,使得.
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