名校
解题方法
1 . 代数式化简中常用到“配、凑、拆”等技巧,例如可以通过拆角转化为,这种技巧在一些三角函数化简问题中常被使用.已知在,角的对边分别为.(1)证明:;
(2)求角的大小;
(3)若点是边(不包含端点)上的一动点,过点向直线作垂线,垂足为,已知,求证:.
(2)求角的大小;
(3)若点是边(不包含端点)上的一动点,过点向直线作垂线,垂足为,已知,求证:.
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2 . 欧拉是伟大的数学家,也是最多产的数学家,他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献.1765年,欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出,任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上(这条直线被称为三角形的欧拉线),此外,外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半.为证明以上结论,我们作以下探究:
如图,点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)求证:.
注:①重心:三边中线的交点,重心将中线长度分成2:1;
②垂心:三条高线的交点,高线与对应边垂直;
③外心:三条中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.
如图,点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)求证:.
注:①重心:三边中线的交点,重心将中线长度分成2:1;
②垂心:三条高线的交点,高线与对应边垂直;
③外心:三条中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.
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3 . (1)求证:;
(2)利用第(1)问的结果证明;
(3)其实我们常借助构造等式,对同一个量算两次的方法来证明组给等式,譬如:,由左边可求得的系数为,利用右式可得的系数为,所以.请利用此方法证明:.
(2)利用第(1)问的结果证明;
(3)其实我们常借助构造等式,对同一个量算两次的方法来证明组给等式,譬如:,由左边可求得的系数为,利用右式可得的系数为,所以.请利用此方法证明:.
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名校
4 . 对于函数,我们无法直接求出它的零点,数学家牛顿用设切线的方法解决了这个问题.设函数的零点为,如果可以找到一步步逼近的,,,,,使得当时,,则可把看做函数的近似解,这个方法被称为“牛顿法”.具体步骤为:选取合适的,在横坐标为的点作的切线,切线与轴的交点的横坐标即,再用代替,重复上面的过程得到,如此循环计算出.我们知道在处的切线的斜率为,由此写出切线方程,因为,所以令得切线与轴交点的横坐标,同理得,,以此类推,可以得到.
(1)对于函数,当时,求,的值;
(2)已知函数的定义域R.
①对于函数,若为公差不为零的等差数列,求证:无零点;
②当时,运用“牛顿法”证明:
(1)对于函数,当时,求,的值;
(2)已知函数的定义域R.
①对于函数,若为公差不为零的等差数列,求证:无零点;
②当时,运用“牛顿法”证明:
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5 . 类比于二维空间(即平面),向量可用二元有序数组表示,若维空间向量用元有序数组表示,记为,,且维空间向量满足.
(1)当,求.
(2)证明:;
(3)若是正实数,且满足,求证:.
(1)当,求.
(2)证明:;
(3)若是正实数,且满足,求证:.
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6 . 定义:若函数与的图象在上有且仅有一个交点,则称函数与在上单交,此交点被称为“单交点”.已知函数,,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,
(i)求证:函数与在上存在“单交点”;
(ⅱ)对于(i)中的正数,证明:.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,
(i)求证:函数与在上存在“单交点”;
(ⅱ)对于(i)中的正数,证明:.
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2024-05-27更新
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349次组卷
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2卷引用:黑龙江省哈尔滨市六校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷
解题方法
7 . 在三棱锥中,,点P在平面ABC内的投影为H,连接AH.(1)如图1,证明:;
(2)如图2,记,直线AP与平面ABC的夹角为,,求证:,并比较和的大小;
(3)如图3,已知,M为平面PBC内一点,且,求异面直线AM与直线BC夹角的最小值.
(2)如图2,记,直线AP与平面ABC的夹角为,,求证:,并比较和的大小;
(3)如图3,已知,M为平面PBC内一点,且,求异面直线AM与直线BC夹角的最小值.
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8 . 已知各项均不为0的数列满足(是正整数),,定义函数,是自然对数的底数.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记函数,其中.
(i)证明:对任意,;
(ii)数列满足,设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为:若存在一个常数,使得对任意给定的正实数(不论它多么小),总存在正整数m满足:当时,恒有成立,则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记函数,其中.
(i)证明:对任意,;
(ii)数列满足,设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为:若存在一个常数,使得对任意给定的正实数(不论它多么小),总存在正整数m满足:当时,恒有成立,则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
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解题方法
9 . 若存在实数和周期函数,使得,则称是好函数.
(1)判断是否是好函数,证明你的结论;
(2)对任意实数,函数满足.若是好函数,
(i)当时,求;
(ii)求证:不是周期函数;
(iii)求证:是好函数.
(1)判断是否是好函数,证明你的结论;
(2)对任意实数,函数满足.若是好函数,
(i)当时,求;
(ii)求证:不是周期函数;
(iii)求证:是好函数.
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10 . 个有次序的实数所组成的有序数组称为一个n维向量,其中称为该向量的第个分量.特别地,对一个n维向量,若,,称为n维信号向量.设,则和的内积定义为,且.
(1)写出所有3维信号向量;
(2)直接写出4个两两垂直的4维信号向量;
(3)证明:不存在14个两两垂直的14维信号向量;
(4)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的,求证:.
(1)写出所有3维信号向量;
(2)直接写出4个两两垂直的4维信号向量;
(3)证明:不存在14个两两垂直的14维信号向量;
(4)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的,求证:.
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