1 . 抛物线的焦点为，准线为，斜率分别为的直线均过点，且分别与交于和（其中在第一象限），分别为的中点，直线与交于点，的角平分线与交于点.
(1)求直线的斜率（用表示）；
(2)证明：的面积大于.

2 . 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围．

3 . 嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中分别为两个截面椭圆的长轴，且都位于圆柱的同一个轴截面上，是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为，则能够保证的的值可以是（       ）

A．	B．
C．	D．

4 . 法国当地时间2024年7月26日晚，第三十三届夏季奥林匹克运动会在巴黎举行开幕式.“奥林匹克之父”顾拜旦曾经说过，奥运会最重要的不是胜利，而是参与；对人生而言，重要的不是凯旋，而是拼搏.为弘扬奥运精神，某学校组织高一年级学生进行奥运专题的答题活动.为了调查男生和女生对奥运会的关注程度，在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的竞赛成绩（满分100分），按从低到高的顺序排列，得到下表中的样本数据：

男生	82	85	86	87	88	90	90	92	94	96
女生	82	84	85	87	87	87	88	88	90	92

则下列说法错误的是（     ）

A．男生样本数据的分位数是86

B．男生样本数据的中位数小于男生样本数据的众数

C．女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变

D．女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变

5 . 设n为正整数，数列为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的”
(1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数列，通项公式为
(2)若数列为“五彩的”且严格单调递增.
（i）证明：数列和公差相等；
（ii）证明：数列一定为等差数列.

6 . 依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（    ）

A．

B．

C．

D．

7 . 已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．
(1)若点P是直线与圆的交点，求a；
(2)求的取值范围．

8 . 已知 为抛物线 的焦点， 过点 的直线 与抛物线 交于 两点， 抛物线 在 两点处的切线交于点 .
(1)设 是抛物线 上一点， 证明: 抛物线 在点 处的切线方程为 ， 并利用切线方程求点 的纵坐标的值;
(2)点 为抛物线 上异于 的点， 过点 作抛物线 的切线， 分别与线段 交于 .
(i)若 ，求 的值；
(ii)证明:

9 . 某项考核，设有一个问题，能正确回答该问题者则考核过关，否则即被淘汰.已知甲､乙､丙三人参与考核，考核结果互不影响，甲过关的概率为，乙过关的概率为，丙过关的概率为.
(1)若三人中有两人过关，求丙过关的概率；
(2)记甲､乙､丙三人中过关的人数为，求的分布列与数学期望.

10 . 信息熵描述了一个事情的不确定度，或者说我知道某个信息所减少的不确定度．此处“度”代表我们可以度量不同的信息中“信息”的含量多少，熵的概念在信息学和通信领域用处颇多，若有一系列基本事件，以作为随机变量，则这些事件可以分别认为是，．则对于这些基本事件的总体的熵，我们用公式计算．
(1)求抛一面质地均匀的六面骰子的熵
(2)假设一枚硬币，其抛出正面的概率是，请计算当取值为何时其熵最大
(3)在上一问中，假设．若想将多次抛掷硬币的信息通过一串“0”和“1”构建的字符串（如“0”、“11011”、“1010110”传递给，并满足以下条件：
·A和B事先商量好个对应法则
·A连续3次抛掷该硬币，将这三次的正反面通过对应法则编码成，将发送给B
·B可以通过唯一地确定A抛掷的硬币分别在第1，2，3次时的正反面
·的长度的期望尽量小．
例如，可以直接用每一位的数表示那一次硬币抛掷的结果，如表：

正正正	111
正正反	110
正反正	101
反正正	011
正反反	100
反正反	010
反反正	001
反反反	000

从而显然无论如何．都有成立．从而
请设计一种方案，使得：
（a）；
（b）；
并证明．（你不需要分别给出方案，的方案自动满足