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1 . 极值的广义定义如下:如果一个函数在一点的一个邻域(包含该点的开区间)内处处都有确定的值,而以该点处的值为最大(小),这函数在该点处的值就是一个极大(小)值.
对于函数,设自变量x从变化到,当,是一个确定的值,则称函数在点处右可导;当,是一个确定的值,则称函数在点处左可导.当函数在点处既右可导也左可导且导数值相等,则称函数在点处可导.
(1)请举出一个例子,说明该函数在某点处不可导,但是该点是该函数的极值点;
(2)已知函数.
(ⅰ)求函数在处的切线方程;
(ⅱ)若为的极小值点,求a的取值范围.
对于函数,设自变量x从变化到,当,是一个确定的值,则称函数在点处右可导;当,是一个确定的值,则称函数在点处左可导.当函数在点处既右可导也左可导且导数值相等,则称函数在点处可导.
(1)请举出一个例子,说明该函数在某点处不可导,但是该点是该函数的极值点;
(2)已知函数.
(ⅰ)求函数在处的切线方程;
(ⅱ)若为的极小值点,求a的取值范围.
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2 . 若m,,,,则_____________ .(请用一个排列数来表示)
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3 . 设无穷数列的前项和为,且,若存在,使成立,则( )
A. |
B. |
C.不等式的解集为 |
D.对任意给定的实数,总存在,当时, |
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4 . 某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛,由篮球专业的1名体育生组成甲组,3名非体育生的篮球爱好者组成乙组,两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次,乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为,则( )
A.乙组同学恰好命中2次的概率为 |
B.甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率 |
C.甲组同学命中次数的方差为 |
D.乙组同学命中次数的数学期望为 |
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5 . 集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合和,定义和集,用符号表示和集内的元素个数.
(1)已知集合,,,若,求的值;
(2)记集合,,,为中所有元素之和,,求证:;
(3)若与都是由个整数构成的集合,且,证明:若按一定顺序排列,集合与中的元素是两个公差相等的等差数列.
(1)已知集合,,,若,求的值;
(2)记集合,,,为中所有元素之和,,求证:;
(3)若与都是由个整数构成的集合,且,证明:若按一定顺序排列,集合与中的元素是两个公差相等的等差数列.
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6 . 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛,根据以往的成绩记录,甲、乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如下表一和下表二所示;
表一
表二
概率分布条形图如下图三和图四所示:则以下对这两名同学的射击水平的评价,正确的是( )
表一
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
0.07 | 0.22 | 0.38 | 0.30 | 0.03 |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
0.09 | 0.24 | 0.32 | 0.28 | 0.07 |
A. | B. | C. | D. |
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解题方法
7 . 对于数列,如果存在等差数列和等比数列,使得,则称数列是“优分解”的.
(1)证明:如果是等差数列,则是“优分解”的.
(2)记,证明:如果数列是“优分解”的,则或数列是等比数列.
(3)设数列的前项和为,如果和都是“优分解”的,并且,求的通项公式.
(1)证明:如果是等差数列,则是“优分解”的.
(2)记,证明:如果数列是“优分解”的,则或数列是等比数列.
(3)设数列的前项和为,如果和都是“优分解”的,并且,求的通项公式.
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2024-06-11更新
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962次组卷
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5卷引用:湖南省长沙市长郡中学2024届高三下学期考前保温卷(二)数学试题
2024·全国·模拟预测
名校
解题方法
8 . 植物迷宫源自于西方国家,在西方国家十分盛行,发展到现在,已经是西方园林植物文化的代表之一.目前植物迷宫的发展已经遍布世界各地,最大的、最长的、最复杂的等等迷宫形式已经成为各大以乡村或农业等为主打的景区,吸引游客的一项重要手段.某乡镇为发展旅游业,欲打造植物迷宫,现就蔬菜迷宫、粮食迷宫两款征询90名村民代表的意见(每人可选一款支持,也可保持中立),其中男、女村民代表的比例为,得到相关统计数据如下:
(1)根据村民代表的意见,利用分层随机抽样的方法抽取12名村民代表,再从这12人中随机抽取4人,记其中支持粮食迷宫的人数为,求的分布列与数学期望.
(2)在90名村民代表中,蔬菜种植能手与粮食种植能手的相关统计数据如下,其中为正整数,且.
现从这90名村民代表中任选一名去参与迷宫设计讨论,记事件为“选到的为女村民代表”,事件为“选到的为粮食种植能手”.若事件与事件相互独立,求的值.
支持蔬菜迷宫 | 支持粮食迷宫 | 中立(两种均可) | |
人数 | 45 | 30 | 15 |
(2)在90名村民代表中,蔬菜种植能手与粮食种植能手的相关统计数据如下,其中为正整数,且.
男村民代表 | 女村民代表 | |
蔬菜种植能手 | 40 | 10 |
粮食种植能手 |
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名校
解题方法
9 . 某手机App为了答谢新老用户,设置了开心大转盘抽奖游戏,制定了如下中奖机制:
每次抽奖中奖的概率为p,n次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖.每次中奖时有的概率中积分奖,有的概率中现金奖.若某一次中奖为积分奖,则下一次抽奖必定中现金奖,抽到现金奖后抽奖结束.
(1)若,,试求直到第3次才抽到现金奖的概率;
(2)若,,X表示抽到现金奖时的抽取次数.
(ⅰ)求X的分布列(用p表示即可);
(ⅱ)求X的数学期望.(,结果四舍五入精确到个位数)
每次抽奖中奖的概率为p,n次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖.每次中奖时有的概率中积分奖,有的概率中现金奖.若某一次中奖为积分奖,则下一次抽奖必定中现金奖,抽到现金奖后抽奖结束.
(1)若,,试求直到第3次才抽到现金奖的概率;
(2)若,,X表示抽到现金奖时的抽取次数.
(ⅰ)求X的分布列(用p表示即可);
(ⅱ)求X的数学期望.(,结果四舍五入精确到个位数)
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10 . 氚,亦称超重氢,是氢的同位素之一,它的原子核由一个质子和两个中子组成,并带有放射性,会发生衰变,其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足,其中表示氚原有的质量,则( )(参考数据:)
A. |
B.经过年后,样本中的氚元素会全部消失 |
C.经过年后,样本中的氚元素变为原来的 |
D.若年后,样本中氚元素的含量为,则 |
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