1 . 已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为___________.

2 . 函数满足，当时，，若有8个不同的实数解，则实数m的取值范围是______．

3 . 已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______________．

4 . 已知四边形为矩形, ,为的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为,在翻折过程中,得到如下有三个命题:
①平面，且的长度为定值；
②三棱锥的最大体积为；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得.
其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）

5 . 已知是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为__________．

6 . 已知函数，其中为自然对数的底数，若函数与的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是______．

7 . 如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：

①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形的面积不改变；
③棱始终与水面平行；
④当时，是定值．
其中正确说法是_______________