名校
1 . 若数列满足,则称该数列为边界为1的数列.对于边界为1的有穷数列,从该数列中任意去掉两项,同时添加作为该数列的末项,可以得到一个项数为项的新数列,称此过程为对数列实施一次“降维”.规定这种“降维”只能实施于边界为1的数列.如果数列经过若干次“降维”后成为只有一项的数列,即得到一个实数,则称该实数为数列的一个“坍缩数”.
(1)设数列的递推公式为,我们知道:当取不同的值时,可以得到不同的数列,若取某实数时,该数列是一个只有3项的有穷数列,求该数列的所有可能的“坍缩数”.
(2)试证明:对于任意一个边界为1的有穷数列,都可以对其持续进行“降维”,直至得到该数列的一个“坍缩数”.
(3)若数列的共有项,其通项公式为,求证:当为偶数时,数列的“坍缩数”一定为正;当为奇数时,数列的“坍缩数”一定为负.
(1)设数列的递推公式为,我们知道:当取不同的值时,可以得到不同的数列,若取某实数时,该数列是一个只有3项的有穷数列,求该数列的所有可能的“坍缩数”.
(2)试证明:对于任意一个边界为1的有穷数列,都可以对其持续进行“降维”,直至得到该数列的一个“坍缩数”.
(3)若数列的共有项,其通项公式为,求证:当为偶数时,数列的“坍缩数”一定为正;当为奇数时,数列的“坍缩数”一定为负.
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2 . 已知:平面内的动点P到定点为和定直线距离之比为,
(1)求动点P的轨迹曲线C的方程;
(2)若直线与曲线C的交点为M,N,点,
当满足 a 时,求证: b .
①;
②;
③直线过定点,并求定点的坐标.
④直线的斜率是定值,并求出定值.
请在①②里选择一个填在a处,在③④里选择一个填在b处,构成一个真命题,在答题卡上陈述你的命题,并证明你的命题
(1)求动点P的轨迹曲线C的方程;
(2)若直线与曲线C的交点为M,N,点,
当满足 a 时,求证: b .
①;
②;
③直线过定点,并求定点的坐标.
④直线的斜率是定值,并求出定值.
请在①②里选择一个填在a处,在③④里选择一个填在b处,构成一个真命题,在答题卡上陈述你的命题,并证明你的命题
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3 . 对于数列,记,称数列为数列的一阶差分数列;记,称数列为数列的二阶差分数列,…,一般地,对于,记,规定:,称为数列的阶差分数列.对于数列,如果(为常数),则称数列为阶等差数列.
(1)数列是否为阶等差数列,如果是,求值,如果不是,请说明为什么?
(2)请用表示,并归纳出表示的正确结论(不要求证明);
(3)请你用(2)归纳的正确结论,证明:如果数列为阶等差数列,则其前项和为;
(4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”,巧合用了2024个球.第1层有1个球,第2层有3个,第3层有6个球,…,每层都摆放成“正三角形”,从第2层起,每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球,问:这位同学共堆积了多少层?
(1)数列是否为阶等差数列,如果是,求值,如果不是,请说明为什么?
(2)请用表示,并归纳出表示的正确结论(不要求证明);
(3)请你用(2)归纳的正确结论,证明:如果数列为阶等差数列,则其前项和为;
(4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”,巧合用了2024个球.第1层有1个球,第2层有3个,第3层有6个球,…,每层都摆放成“正三角形”,从第2层起,每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球,问:这位同学共堆积了多少层?
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4 . 在中,已知边上的中线长为.
(1)求证:;
(2)若边上的中线长分别为,当为钝角三角形时,求m、n、t之间所满足的关系式,并指出哪个角为钝角.
(1)求证:;
(2)若边上的中线长分别为,当为钝角三角形时,求m、n、t之间所满足的关系式,并指出哪个角为钝角.
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5 . 已知数列满足,,令.
(1)求证:数列为等差数列;
(2)设,数列的前n项和为,定义为不超过x的最大整数,例如,,求数列的前n项和.(参考公式:)
(1)求证:数列为等差数列;
(2)设,数列的前n项和为,定义为不超过x的最大整数,例如,,求数列的前n项和.(参考公式:)
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6 . 椭圆的焦点为和,短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆上、下顶点分别为、,过点的直线与椭圆交于、两点(不与、两点重合).
①求证:与的交点的纵坐标为定值;
②已知直线,求直线、、围成的三角形面积最小值.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆上、下顶点分别为、,过点的直线与椭圆交于、两点(不与、两点重合).
①求证:与的交点的纵坐标为定值;
②已知直线,求直线、、围成的三角形面积最小值.
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解题方法
7 . 若数列满足如下两个条件:①和恰有一个成立;②.就称数列为“中项随机变动数列”.已知数列为“中项随机变动数列”,
(1)若,求的可能取值;
(2)已知的解集为,求证:成等比数列;
(3)若数列前3项均为正项,且的解集为,设的最大值为,求的最大值.
(1)若,求的可能取值;
(2)已知的解集为,求证:成等比数列;
(3)若数列前3项均为正项,且的解集为,设的最大值为,求的最大值.
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名校
8 . 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于点D,E(D在E左侧),过抛物线的顶点A与x轴平行的直线交抛物线于点B,C(B在C左侧).
(2)若,求证:;
(3)在(2)的条件下,连结BE,若,试探究与的数量关系.
(1)若点A的坐标为,且点B恰好落在y轴上,求抛物线的函数表达式;
(2)若,求证:;
(3)在(2)的条件下,连结BE,若,试探究与的数量关系.
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解题方法
9 . 设函数.
(1)若,,求证:有零点:
(2)若,,是否存在正整数m,n,使得不等式的解集为,若存在,求m,n;若不存在,说明理由;
(3)若,非空集合,求的取值范围.
(1)若,,求证:有零点:
(2)若,,是否存在正整数m,n,使得不等式的解集为,若存在,求m,n;若不存在,说明理由;
(3)若,非空集合,求的取值范围.
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10 . 定义两个维向量,的数量积,,记为的第k个分量(且).如三维向量,其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件:①集合中含有n个n维向量作为元素;②集合中每个元素的所有分量取0或1;③集合中任意两个元素,,满足(T为常数)且.则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集;
(2)判断是否存在完美4维向量集,并说明理由;
(3)若存在A为T的完美n维向量集,求证:A的所有元素的第k分量和.
(1)求2的完美3维向量集;
(2)判断是否存在完美4维向量集,并说明理由;
(3)若存在A为T的完美n维向量集,求证:A的所有元素的第k分量和.
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2024-03-27更新
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891次组卷
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4卷引用:2024届江西省九江市二模数学试题
2024届江西省九江市二模数学试题广东省汕头市潮阳区河溪中学2023-2024学年高三下学期第二学月质检数学试题(已下线)拔高点突破01 集合背景下的新定义压轴解答题(四大题型)(已下线)专题7 线性代数、抽象代数与数论背景的新定义压轴大题(过关集训)