1 . 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．

(1)求图中a的值；
(2)估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）；
(3)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．

2 . 已知直线：，直线：，过动点M作，，垂足分别为A，B，点A在第一象限，点B在第四象限，且四边形（O为原点）的面积为2．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若，过点F且斜率为k的直线l交M的轨迹于C，D两点，线段CD的垂直平分线分别交x轴、y轴于，两点，求的取值范围．

3 . 2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合.已知绿色科技产品A在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），每件的销售价格为10元，日销售量（单位：件）与第x天的部分数据如下表所示：

x	5	6	12	18	24	28	30
	45	46	52	58	56	52	50

(1)给出下列三个函数模型：①；②；③.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域.
(2)若绿色科技产品B在这30天内（包括第30天）的日销售收入（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，求这30天内（包括第30天）绿色科技产品的日销售收入不少于绿色科技产品的总天数.

4 . 在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为.
(1)当时，求
(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数的最小值.

5 . （1）求满足焦点坐标分别为，经过点的椭圆方程．
（2）直线经过定点，点在直线上，且，当直线绕着点转动时，求点的轨迹方程；

6 . 民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工万件该品牌服装，需另投入万元，且根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，可获得12元的代加工费.
(1)求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润y（单位：万元）关于年代加工量x（单位：万件）的函数解析式.
(2)当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大?并求出年利润的最大值.

7 . 今年的5月20日是全国第34个“中学生营养日”，今年的主题是“科学食养助力儿童健康成长”.围绕这个主题，在今年的5月19日，中国校园健康行动领导小组、中国国际公司促进会、中国关心下一代健康体育基金会、中国关心下一代工作委员会健康体育发展中心、中国国际跨国公司促进会中国青少年儿童健康安全食品联合工作委员会、中国青少年儿童健康安全食品管理委员会等单位在京共同启动了“中国青少年儿童营养健康标准推广实施行动”.我校也希望大力改善学生的膳食结构，让更多的学生到食堂正常就餐，而不是简单地用面包，方便面或者零食来填饱肚子.于是学校从晚餐在食堂就餐的学生中随机抽取了100名学生，针对他们晚餐时更喜欢吃面食还是更喜欢吃米饭做了调查，得到如下列联表：

	更喜欢吃面食	更喜欢吃米饭	总计
男生	30	25	55
女生	20	25	45
总计	50	50	100

(1)依据小概率的独立性检验，判断晚餐是否更喜欢吃面食与性别是否有关联？
(2)在样本中，从晚餐更喜欢吃面食的学生中按性别分层抽样抽取5人，在这5人中任选2人，其中女生的人数为X，请写出X的分布列；
(3)现用频率估计概率，在全校学生中，从晚餐更喜欢吃面食的学生中任选3人，其中男生人数为Y，请写出Y的期望和方差.
附：，其中．

	0.05	0.01	0.005
	3.841	6.635	7.879

8 . 如图所示，在一块面积为的圆心角为的扇形空地中（如图1：扇形，），要建设一座长方体的高楼（如图2：长方体）.由于建设需求，点需在弧上（如图3）.为了消防安全，楼层建设不能太高，与地面所成的角最大为.
   
(1)求楼高的最大值；
(2)求这座高楼体积的最大值.

9 . 为调查某校高一学生的数学学习情况以及男女生学习水平的差异，采用分层随机抽样的方式从高一年级抽取人参加数学知识竞赛（满分10分）.已知该校高一男女生的人数比为1：2，抽取了20名男生参加数学知识竞赛，他们的成绩记为，其中分别为：8，3，2，4，8，5，5，7，7，6，8，5，5，6，4，9，6，8，6，8.
（参考数据：，）
(1)求样本总人数；
(2)求男生数学知识竞赛成绩的第60百分位数以及方差；
(3)若女生数学知识竞赛成绩的平均数为3，方差为10.3，求样本总方差.

10 . 山东淄博有着丰富的烧烤文化，淄博烧烤以其独特的口味和制作方法，吸引了大量的食客，今年的“五一”假期更是游客“进淄赶烧”的高峰期.某商家为了提高自己的竞争力，举行了消费抽奖活动，活动规则如下：每消费满100元，会获得一次抽奖机会，奖项为“5元烧烤优惠券”“10元烧烤优惠券”以及“谢谢惠顾”.已知抽中“5元烧烤优惠券”的概率为，抽中“10元烧烤优惠券”的概率为，并且每次抽奖互不影响.
(1)求抽到“谢谢惠顾”的概率；
(2)某位客人消费了200元，求这位客人能抽到总计10元烧烤优惠券的概率.