1 . 全国高中数学联赛活动旨在通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的兴趣，让学生喜爱数学，学习数学，激发学生的钻研精神，独立思考精神以及合作精神.现有同学甲、乙二人积极准备参加数学竞赛选拔，在5次模拟训练中，这两位同学的成绩如下表，假设甲、乙二人每次训练成绩相互独立.

	第1次	第2次	第3次	第4次	第5次
甲	86	92	87	89	86
乙	90	86	89	88	87

(1)从5次训练中随机选取1次，求甲的成绩高于乙的成绩的概率；
(2)从5次训练中随机选取2次，用表示甲的成绩高于乙的成绩的次数，求的分布列和数学期望；
(3)根据数据信息，你认为谁在选拔中更具竞争力，并说明理由.
（注：样本数据的方差，其中）

2 . 某公司今年1月份推出新新产品，其成本价为492元/件，经试销调查，销售量与销售价的关系如下表：

销售价（元/件）	650	662	720	800
销售量（件）	350	333	281	200

由此可知，销售量（件）与销售价（元/件）可近似看作一次函数的关系.（通常取表中相距较远的两组数据所得的一次函数较为精确）试问：销售价定为多少时，1月份利润最大？求最大利润和此时的销售量.

3 . 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，点在轴上，且.是该抛物线上的动点，连结，，与交于点.

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)设点的横坐标为.
①求的面积的最大值；
②在对称轴上找一点，使四边形是平行四边形，求点的坐标；
③抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，求点的坐标，并判断此时的形状.

4 . 某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品.这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：

(1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？
(2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元.其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？

5 . 医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为（摄氏度）．医学统计发现，X的分布列如下．

X	37	38	39	40
P	0.1	0.5	0.3	0.1

(1)求出，；
(2)已知人体体温为时，相当于，求，．

6 . 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．

（1）求的周长；
（2）求面积的取值范围；
（3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．

7 . 某次数学考试后，抽取了20名同学的成绩作为样本绘制了频率分布直方图如下：

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求20位同学成绩的平均分；
（3）估计样本数据的第一四分位数和第80百分位数（保留三位有效数字）．

8 . 年的疫情让人刻骨铭心，年某地的疫情又出现了反弹，为切实维护广大人民群众生命安全和身体健康，扎实开展疫情防控工作，当地应对新冠肺炎疫情工作领导小组研究决定，除保障防疫工作、医疗服务、城市运行、值班执勤工作外，对全城车辆和行人采取严格的管控措施，某社区要进行全员核酸检测，由于工作量巨大，招募了名志愿者，记录了这些志愿者的年龄，统计结果如下表：

年龄
志愿者人数

志愿者的年龄的频率分布直方图如图所示：

（1）求，，并利用所给的频率分布直方图估计所有志愿者的平均年龄（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）若已从年龄在，的志愿者中利用分层抽样选取了人，再从这人中选出人，求这人在同一年龄组的概率．

9 . 类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．

（1）当、时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，平行六面体中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．

10 . 某机械零件工厂为了检验产品的质量，质检部门随机在生产线上抽取了个零件并称出它们的重量（单位：克）．重量按照，，…，分组，得到频率分布直方图如图所示．

（1）估计该工厂生产的零件重量的平均数；（每组数据用该组的中点值作代表）
（2）估计该工厂生产的零件重量的分位数；
（3）按各组零件数量比例用分层随机抽样方法从样本里重量不低于克的零件中抽取个零件，再从这个零件中任取个，求这个零件的重量均在内的概率．