1 . 设椭圆：的右焦点为，右顶点为，已知椭圆离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线斜率的取值范围.

2 . 已知是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）圆是以为直径的圆，一直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点、，当，且满足时，求的面积的取值范围．

3 . 定义在的函数（其中R）.
（1）若，求的最大值；
（2）若函数在处有极小值，求实数a的取值范围.

4 . 已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若，实数，且，证明：．

5 . 已知抛物线的焦点为，圆与轴的一个交点为，圆的圆心为，为等边三角形.
（1）求抛物线的方程
（2）设圆与抛物线交于、两点，点为抛物线上介于、两点之间的一点，设抛物线在点处的切线与圆交于、两点，在圆上是否存在点，使得直线、均为抛物线的切线，若存在求点坐标（用、表示）；若不存在，请说明理由.

6 . 如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别是、，上顶点为A，左顶点为B，且.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设点是椭圆C上任意一点，且，在直线上是否存在点Q，使以为直径的圆经过坐标原点O，若存在，求出线段的长的最小值，若不存在，请说明理由．

7 . 已知关于函数.
若函数在点处的切线为轴时，求函数的单调区间与极值；
当时，若函数有两个不同的零点，求的取值范围.

8 . 证明：
(1)求证：当实数时，；
(2)已知，，如果，的图象有两个不同的交点，.求证：.
（参考数据：，，，为自然对数的底数）

9 . 同底的两个正三棱锥内接于半径为R的球，它们的侧面与底面所成的角分别为求：
（1）侧面积的比；
（2）体积的比；
（3）角的最大值．

10 . 已知函数，.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，函数的两个极值点为，，且.求证：.