1 . 点球大战是指在足球比赛中，双方球队在经过90分钟常规赛和30分钟加时赛后仍然无法分出胜负的条件下，采取以互罚点球决胜负的方法.在点球大战中，双方球队确定各自罚球队员的顺序，通过抽签的方式决定哪一方先罚，双方球队各出1人进行1次罚球作为1轮罚球，点球大战期间队员不可重复罚球，除非一方球队的全部球员已依次全部罚球.点球大战主要分为两个阶段：第一阶段，以双方球员交替各踢5次点球作为5轮罚球，前5轮罚球以累计进球数多的一队获胜，当双方未交替踢满5轮，就已能分出胜负时，裁判会宣布进球多的一队获胜，当双方交替踢满5轮，双方进球数还是相等时，则进入第二阶段：第二阶段，双方球队继续罚球，直到出现某1轮结束时，一方罚进而另一方未罚进的局面，则由罚进的方取得胜利.现有甲､乙两队（每支队伍各11名球员）已经进入了点球大战，甲队先罚球，各队已经确定好罚球队员的顺序，甲队的球员第1轮上场，球员在点球时罚进球的概率为，其余的21名球员在点球时罚进球的概率均为.
(1)求第3轮罚球结束时甲队获胜的概率；
(2)已知甲､乙两队的点球大战已经进入第二阶段，在第二阶段的第4轮罚球结束时甲队获胜的条件下，甲､乙两队第二阶段的进球数之和为，求的分布列及数学期望.

2 . 已知在中，角，，所对应的边分别为，，.圆与的边及，的延长线相切（即圆为的一个旁切圆），圆与边相切于点.记的面积为，圆的半径为.

(1)求证：；
(2)若，，
①求的最大值；
②当时，求的值.

3 . 随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了200户居民的问卷评分（得分都在分内，满分100分），并将评分按照分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

注：本次评分不低于80分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于80分的居民支持更换新物业公司.
(1)求这200户居民本次问卷评分的中位数；
(2)若该小区共有居民1200户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？
(3)按比例分配的分层随机抽样的方法从评分在内的住户中选取5户，再从这5户中任意选取2户，求这2户中至少有1户支持所属物业公司延续服务的概率.

4 . 绿化美化环境，建设美丽乡村.某村拟将村外的空地分成五块（如图1），种植花草（中间的圆圈不种植），现有四种不同的花卉供选择，要求每一块种植一种花，相邻区域种不同的花卉，设所种花卉的种数为.

   

(1)求的分布列与期望；
(2)若将空地分成个区域（图2），在这个区域上种植花卉，要求相邻区域种不同的花卉，现有5种不同的花卉供选择，问有多少种不同的种植方法？

5 . 某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下：

满意度 性别	满意	不满意	弃权
男生	80	30	10
女生	50	20	10

(1)用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率；
(2)用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望．

6 . 如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD．

(1)若，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值；
(2)在中，记的对边分别为a，b，c，且满足
①求证：；
②求的最小值．

7 . 生物医药的开发和应用对解决全球性疾病具有重要意义，生物医药的开发可以帮助解决全球范围内存在的疑难杂症，如癌症、艾滋病、糖尿病等，同时也可以为未来的新病毒和新疾病提供有效的治疗手段.而试验是生物制药中不可缺少的重要环节.某生物制药公司对甲、乙两种新药物的某项指标值（）进行实验.对注射甲种药物的20只小白鼠，测量得出该项指标值的数据并绘制表格如图1；对注射乙种药物的30只小白鼠，测量得出该项指标值的数据并绘制频率分布直方图如图2.临床观察表明当值越大，药物对病毒的抑制效果越好.当值大于40时，认为药物有效；当值大于80时，认为药效显著.（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替）.

值
频数	2	3	7	4	3	1

(1)求图2中的值以及注射乙种药物指标值的中位数；
(2)若按分层抽样从注射甲、乙两种药物且药效显著的样本中抽取5件，再从这5件中抽取2件样本作进一步临床实验.记事件表示“2件样本均是来自注射同一种药物的实验组”，事件表示“2件样本中至少有1件样本来自注射乙药物的实验组”，求；
(3)从注射甲药物有效组中随机抽取10个样本.其指标值平均数为，方差；从注射乙药物的有效组中随机抽取20个样本.其指标值平均数为，方差.计算上述30个样本数据均值，方差.

8 . 华为Pura70的发布是中国芯片行业的重大突破，华为的高端手机越来越受到消费者的青睐.某手机店今年2～6月份Pura70手机的销量如下表所示：

月份	2	3	4	5	6
手机销量（部）	42	53	66		109

用最小二乘法得到手机销量（单位：部）关于月份的回归直线方程为，且销量的方差.
(1)求；
(2)求相关系数（精确到0.01），并据此判断手机销量与月份的相关性强弱（若，则可判断与线性相关较强）；
(3)求时的残差；已知，求决定系数（精确到0.01）.
附：回归系数，相关系数，决定系数，.

9 . 最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个正整数公有约数中最大的一个，a，b的最大公约数记为，a，b，c的最大公约数记为.与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数叫做这几个数的最小公倍数，a，b的最小公倍数记为，a，b，c的最小公倍数记为.例如，.
(1)求的值；
(2)若数列满足，，求数列的前n项和；
(3)若公差为整数的等差数列满足，，证明：.

10 . 正项数列满足：对于，其中为非零常数，则称数列为平方等差数列.记.
(1)判断无穷数列和是否是平方等差数列，若是求出，若不是，说明理由；
(2)若是平方等差数列且，证明：任意的正常数，存在正整数，使得；
(3)若是平方等差数列，，令是不大于的最大整数，求.