名校
1 . 去年以来新冠肆虐，我国在党中央的领导下迅速控制住新冠疫情，但完全消除新冠的威胁仍需要长期的努力.某医疗企业为了配合国家的防疫战略，决定投入
万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前
年的支出成本为
万元，每年的销售收入
万元.
(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以
万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以
万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由.（注：
）
万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入万元.(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以
万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以
万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由.（注：
）
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2022-10-29更新
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493次组卷
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5卷引用：四川省眉山市东坡区冠城七中实验学校2023-2024学年高一下学期开学数学试题
名校
解题方法
2 . 已知数列
的前
项和是
，且
，等差数列
中，
．
(1)求数列
的通项公式
；
(2)定义：
记
，求数列
的前20项和
．
的前项和是，且，等差数列中，．(1)求数列
的通项公式；(2)定义：
记，求数列的前20项和．
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2021-12-12更新
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1537次组卷
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8卷引用：江苏省淮安市洪泽湖高级中学2022-2023学年高二下学期期初数学试题
江苏省淮安市洪泽湖高级中学2022-2023学年高二下学期期初数学试题四川省雅安市2022届高三上学期学业质量监测（零诊）理科数学试题四川省雅安市2022届高三学业质量监测（零诊）文科数学试题江苏省常州市教育学会2021-2022学年高二上学期期末学业水平监测数学试题贵州省贵阳市五校（贵阳民中 贵阳九中 贵州省实验中学 贵阳二中 贵阳八中）2022届高三下学期联考（五）数学（文）试题（已下线）易错点08 数列-备战2022年高考数学考试易错题（新高考专用）贵州省贵阳市五校（贵阳民中 贵阳九中 贵州省实验中学 贵阳二中 贵阳八中）2022届高三下学期联考（五）数学（理）试题河北省沧州市普通高中2023届高三上学期摸底考数学试题
3 . 对任意一个三位自然数n，若各个数位上的数字均不为0，则称该自然数为“无零数”.将这个三位“无零数”的各数位上的数字两两组合，形成六个新的两位数，我们将这六个两位数的和，叫做该三位“无零数”的“二位总和”，将所得的“二位总和”除以44，得到的结果记为
.例如“352”是一个三位“无零数”，六个新数为35，32，53，52，23，25，则
.
（1）
________，证明：任意一个满足十位数字等于百位数字与个位数字之和的
的三位“无零数”，它的“二位总和”定能被33整除；
（2）若一个“无零数”
（其中
，
，且a，b为整数）的十位数字为8，且满足十位数字等于百位数字与个位数字之和，求
.
.例如“352”是一个三位“无零数”，六个新数为35，32，53，52，23，25，则.（1）
________，证明：任意一个满足十位数字等于百位数字与个位数字之和的的三位“无零数”，它的“二位总和”定能被33整除；（2）若一个“无零数”
（其中，，且a，b为整数）的十位数字为8，且满足十位数字等于百位数字与个位数字之和，求.
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名校
4 . 设
是函数
定义域内的一个子集，若存在
，使得
成立，则称
是
的一个“弱不动点”，也称在区间上存在“弱不动点”．设函数
，
．
(1)若
，求函数
的“弱不动点”；
(2)若函数在
上不存在“弱不动点”，求实数
的取值范围．
是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“弱不动点”，也称在区间上存在“弱不动点”．设函数，．(1)若
，求函数的“弱不动点”；(2)若函数
在上不存在“弱不动点”，求实数的取值范围．
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2022-03-03更新
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591次组卷
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8卷引用：辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高一下学期开学初数学试题
辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高一下学期开学初数学试题江苏省盐城市响水中学2021-2022学年高一下学期期初检测数学试题吉林省四平市铁东区第一高级中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题辽宁省沈阳市第一二〇中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题辽宁省大连市第三十六中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题黑龙江省绥化市第一中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题（已下线）专题07 《幂函数、指数函数和对数函数》中的存在性问题-2021-2022学年高一数学上册同步培优训练系列（苏教版2019）苏教版(2019) 必修第一册 突围者 第6章 第三节 对数函数
5 . 已知无穷数列{an}，对于m∈N*，若{an}同时满足以下三个条件，则称数列{an}具有性质P(m)．
条件①：an＞0（n＝1，2，…）；
条件②：存在常数T＞0，使得an≤T（n＝1，2，…）；
条件③：an＋an+1＝man＋2（n＝1，2，…）．
（1）若an＝5＋4
（n＝1，2，…），且数列{an}具有性质P（m），直接写出m的值和一个T的值；
（2）是否存在具有性质P（1）的数列{an}？若存在，求数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由；
（3）设数列{an}具有性质P（m），且各项均为正整数，求数列{an}的通项公式．
条件①：an＞0（n＝1，2，…）；
条件②：存在常数T＞0，使得an≤T（n＝1，2，…）；
条件③：an＋an+1＝man＋2（n＝1，2，…）．
（1）若an＝5＋4
（n＝1，2，…），且数列{an}具有性质P（m），直接写出m的值和一个T的值；（2）是否存在具有性质P（1）的数列{an}？若存在，求数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由；
（3）设数列{an}具有性质P（m），且各项均为正整数，求数列{an}的通项公式．
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2021-05-02更新
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1166次组卷
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5卷引用：北京一零一中学2022届高三9月开学练习数学试题
6 . 已知数列A：
的各项均为正整数，设集合
，记T的元素个数为
．
（1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出的值；
（2）若A是递增数列，求证：“
”的充要条件是“A为等差数列”；
（3）若
，数列A由
这
个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数．
的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．（1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出
的值；（2）若A是递增数列，求证：“
”的充要条件是“A为等差数列”；（3）若
，数列A由这个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数．
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2021-04-07更新
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1507次组卷
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9卷引用：北京第五中学2023-2024学年高三下学期开学检测数学试卷
名校
解题方法
7 . 设集合
，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①
，且T中至少有两个元素；②对于任意
，当
，都有
；③对于任意
，若
，则
；则称集合
为集合
的“耦合集”.
（1）若集合
，求集合
的“耦合集”
；
（2）若集合
存在“耦合集”
，集合
，且
，求证：对于任意
，有
；
（3）设集合
，且
，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.
，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集”.（1）若集合
，求集合的“耦合集”；（2）若集合
存在“耦合集”，集合，且，求证：对于任意，有；（3）设集合
，且，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.
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2021-01-27更新
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1319次组卷
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5卷引用：江西省宁冈中学2021-2022学年高一9月开学考数学（理）试题
名校
8 . 定义：有限非空数集
的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合
，其“积数”
.
（1）若有限数集
，求证：集合
的所有非空子集的“积数”之和
满足
；
（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集
（
），记集合A的所有非空子集的“积数”之和，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；
（3）若有限集
，
①试求由中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和奇数；
②试求由中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.
的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合，其“积数”.（1）若有限数集
，求证：集合的所有非空子集的“积数”之和满足；（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集
（），记集合A的所有非空子集的“积数”之和，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；（3）若有限集
，①试求由
中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和奇数；②试求由
中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.
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9 . 已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，
（1）在①
，②
，③
，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意m，n
，
均为数列中的项，说明理由；
（2）设数列满足
，n，求数列的前n项和
．
注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
是公比为2的等比数列，其前n项和为，（1）在①
，②，③，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意m，n，均为数列中的项，说明理由；（2）设数列
满足，n，求数列的前n项和．注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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2020-09-06更新
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847次组卷
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9卷引用：江苏省南京市2020-2021学年高三上学期9月期初数学试题
江苏省南京市2020-2021学年高三上学期9月期初数学试题2021届高三高考必杀技之结构开放题专练江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题（已下线）综合练习模拟卷01-2021年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用）江苏省泰州市姜堰第二中学2020-2021学年高二下学期期初数学试题（已下线）第四章 数列B卷（综合培优）-【双基双测】2021-2022学年高二数学同步单元AB卷（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）专题16 盘点数列中的结构不良问题——备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破黑龙江省牡丹江市第三高级中学2022-2023学年高三上学期第五次月考数学试题甘肃省庆阳市第二中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题
名校
解题方法
10 . 对于数集X={-1，x1，x2，
，xn}，其中
，n ≥ 2，定义向量集
，若对任意
，存在
，使得
，则称X具有性质P.例如{-1，1，2}具有性质P.
（1）若x > 2，且{-1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2〉若X具有性质P，求证：1 ∈X ，且当xn >1 时，x1= 1；
（3）若X具有性质P，且x1= 1 ，x2 =q （q为常数），求有穷数列x1，x2，，xn的通项公式.
，xn}，其中，n ≥ 2，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P.例如{-1，1，2}具有性质P.（1）若x > 2，且{-1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2〉若X具有性质P，求证：1 ∈X ，且当xn >1 时，x1= 1；
（3）若X具有性质P，且x1= 1 ，x2 =q （q为常数），求有穷数列x1，x2，
，xn的通项公式.
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2021-08-29更新
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539次组卷
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6卷引用：北京市北京八中2018届高三第二次月考数学理科试题
