1 . 过曲线:上的点作曲线的切线与曲线交于,过点作曲线的切线与曲线交于点,依此类推,可得到点列:,已知.
(1)求点,的坐标;
(2)求数列的通项公式;
(3)记点到直线(即直线)的距离为,求证:.
(1)求点,的坐标;
(2)求数列的通项公式;
(3)记点到直线(即直线)的距离为,求证:.
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2 . 已知、是椭圆上两动点,为原点,定点,向量,在向量方向上的投影分别为,,且,动点满足.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)记点,,求证:无论动点在轨迹上如何运动,恒为一个常数.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)记点,,求证:无论动点在轨迹上如何运动,恒为一个常数.
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3 . 甲、乙两队各有个队员,已知甲队的每个队员分别与乙队的每个队员各握手一次(同队的队员之间不握手),从这次握手中任意取两次.记事件:两次握手中恰好有4个队员参与;事件:两次握手中恰好有3个队员参与.
(1)当时,求事件发生的概率;
(2)若事件发生的概率,求的最小值.
(1)当时,求事件发生的概率;
(2)若事件发生的概率,求的最小值.
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解题方法
4 . 、是已知圆的两条互相垂直的半径,延长至点P,延长至点Q.使得,.
(1)若直线OP和OQ的斜率都存在,试确定直线OP和OQ的斜率的乘积是否为一个常数?
(2)试确定是否为一个常数?
(3)设.试确定是否存在两个定点、,使,的斜率的乘积为一个常数?
(1)若直线OP和OQ的斜率都存在,试确定直线OP和OQ的斜率的乘积是否为一个常数?
(2)试确定是否为一个常数?
(3)设.试确定是否存在两个定点、,使,的斜率的乘积为一个常数?
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解题方法
5 . 直角三角形的两直角边长分别为,斜边长为,其内切圆与外接圆的半径分别为,当变化时,试求的最大值.
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解题方法
6 . 已知等差数列满足,设是数列的前项和,记.
(1)求;
(2)比较与的大小;
(3)如果函数对一切大于1的正整数,其函数值都小于零,那么应满足什么条件?
(1)求;
(2)比较与的大小;
(3)如果函数对一切大于1的正整数,其函数值都小于零,那么应满足什么条件?
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2024-04-07更新
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218次组卷
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2卷引用:第五届高一试题(初赛)-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析(高中版)
解题方法
7 . 某公司有6路热线电话,经长期统计发现,在8点至10点这段时间内,热线电话同时打入情况如下表所示:
(1)若这段时间内,公司只安排了2位接线员.(一个接线员一次只能接一个电话)
①求至少有一路电话不能一次接通的概率;
②在一周五个工作日中,如果有三个工作日的这一时间内至少有一路电话不能一次接通,那么公司的形象将受到损害,现用至少一路电话不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度”,求这种情况下公司形象的“损害度”;
(2)求一周五个工作日的这一时间内,电话同时打入数的期望.
电话同时打入数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
概率 | 0.13 | 0.35 | 0.27 | 0.14 | 0.08 | 0.02 | 0.01 |
①求至少有一路电话不能一次接通的概率;
②在一周五个工作日中,如果有三个工作日的这一时间内至少有一路电话不能一次接通,那么公司的形象将受到损害,现用至少一路电话不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度”,求这种情况下公司形象的“损害度”;
(2)求一周五个工作日的这一时间内,电话同时打入数的期望.
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解题方法
8 . 已知,若方程的根和满足.
(1)在平面直角坐标系中,画出点所表示的区域,并说明理由;
(2)令,求的最大值与最小值.
(1)在平面直角坐标系中,画出点所表示的区域,并说明理由;
(2)令,求的最大值与最小值.
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9 . 二次函数的图像如图所示,点位于坐标原点,,,,…,,…在轴的正半轴上,,,,…,,…在二次函数第一象限的图像上,若,,,…,,…都是正三角形.
(1)求三角形的边长;
(2)设三角形的边长为,(为非零常数),是否存在整数,使得对任意正整数,都有?若存在,求出;若不存在,请说明理由.
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解题方法
10 . 为了推进国际旅游岛的建设,海南省决定建一个橡胶基地,打算从外地引进株名贵橡胶树,已知这株名贵橡胶树移栽的成活率分别为,且各株橡胶树是否成活互不影响.
(1)若它们至少成活两株的概率大于,则橡胶基地就决定引进这三株名贵橡胶树,否则不予引进,问:橡胶基地是否会从外地引进这3株名贵橡胶树?
(2)求橡胶树成活株数的分布列与数学期望.
(1)若它们至少成活两株的概率大于,则橡胶基地就决定引进这三株名贵橡胶树,否则不予引进,问:橡胶基地是否会从外地引进这3株名贵橡胶树?
(2)求橡胶树成活株数的分布列与数学期望.
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