1 . 如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

(1)求证：为正四面体；
(2)若，求二面角的大小；
(3)设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.

2 . 已知关于的不等式的解集为；
(1)若,求的取值范围；
(2)若存在两个不相等负实数，使得，求实数的取值范围；
(3)是否存在实数，满足：“对于任意，都有；对于任意的，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

3 . 已知实数，函数．
(1)当时，过原点的直线与函数相切，求直线的方程；
(2)讨论方程的实根的个数；
(3)若有两个不等的实根，求证：．

4 . 如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对于定义域内任意，都有成立，则称此函数具有“性质”．
(1)已知函数具有“性质”，且当时，，求函数在区间上的函数解析式；
(2)已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数的图象与直线有2023个公共点，求实数的值；
(3)已知函数具有“性质”，当时，，若有8个不同的实数解，求实数的取值范围．

5 . 已知关于的不等式的解集为，集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．

6 . 在中，角、、所对的边分别为、、，且．
(1)求的值；
(2)若，求的最大值．

7 . 如图，在正三棱柱中，，异面直线与所成角的大小为.

(1)求正三棱柱的体积；
(2)求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

8 . 如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点．

(1)求四面体的体积；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．

9 . 2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新更强的爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)求调整后企业对全部技术人员的年总投入和对全部研发人员的年总投入的表达式：
(2)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?
(3)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件，①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不低于调整前的水平．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件，若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．

10 . （1）设x、y是不全为零的实数，试比较与的大小，并说明理由；
（2）求证：对所有实数x恒成立，并求等号成立时x的取值范围．