1 . 第22届卡塔尔世界杯（FIFA World Cup Qatar 2022）足球赛,于当地时间2022年1月20日（北京时间1月21日）至12月18日在卡塔尔境内5座城市中的8座球场举行,共计4场赛事.除东道主卡塔尔外,另有来自五个大洲足球联合会的31支球队拥有该届世界杯决赛参赛资格,各大洲足联各自举办预选赛事以决定最终出线的球队.世界杯群星荟萃,拨动着各国人民的心弦,向人们传递着正能量和欢乐.
(1)某中学2022年举行了“学习世界杯,塑造健康体魄”的主题活动,经过一段时间后,学生的身体素质明显增强,现将该学校近5个月体重超重的人数进行了统计,得到如下表格:

月份x	1	2	3	4	5
体重超重人数y	640	540	420	300	200

若该学校体重超重人数y与月份x（月份x依次为1,2,3,4,5…）具有线性相关关系,请预测从第几月份开始该学校体重超重的人数降至50人以下？
(2)在某次赛前足球训练上,开始时球恰由控制,此后规定球仅在A、B和C三名队员中传递,已知当球由A控制时,传给B的概率为,传给C的概率为;当球由B控制时,传给A的概率为,传给C的概率为;当球由C控制时,传给A的概率为,传给B的概率为.
①记为经过n次传球后球恰由A队员控制的概率,求;
②若传球次数,C队员控制球的次数为X,求.
参考公式:.

2 . 中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具的国家之一.铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了会与时针重合，一天内分针和时针重合次.
(1)建立关于的函数关系；
(2)求一天内分针和时针重合的次数.

3 . 2022年11月12日，在湖北黄石举行的2022年全国乒乓球锦标赛中，樊振东最终以4比2战胜林高远，夺得2022年全国乒乓球锦标赛男子单打冠军.乒乓球单打规则是首先由发球员合法发球，再由接发球员合法还击，然后两者交替合法还击，胜者得1分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先多得2分的一方为胜方.甲､乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次合法发球中，得1分的概率为，乙在一次合法发球中，得1分的概率为，设在一局比赛中第n个合法发球出现得分时，甲的累计得分为.（假定在每局比赛中双方运动员均为合法发球）
(1)求随机变量的分布列及数学期望；
(2)求成等比数列的概率.

4 . 重庆市巴蜀中学黄花园校区计划利用操场一角的空地建一栋艺术楼，该艺术楼的正面外墙设计为钢琴的造型，背面靠石壁，主体部分可近似看成一个高12米，地面面积为200平方米的长方体.现考虑后期外墙的处理费用，由于楼体前面墙面造型复杂，费用为每平方米元，左、右两面墙面费用为每平方米元，楼体背面靠石壁需要防潮处理，费用为每平方米元，其他部分费用忽略不计.由于造型的要求前面墙面的长度不得少于20米，设楼体的左、右两面墙的长度为米，外墙处理的总费用为元.
(1)求关于的函数并求该函数的定义域；
(2)当左、右两面墙的长度为多少米时，外墙处理的总费用最低？若，则该最低费用为多少万元？

5 . 2021年11月3日，全国首条无人驾驶跨座式单轨线路——芜湖轨道交通（芜湖单轨）1号线开通初期运营．芜湖轨道交通1号线大致呈南北走向，线路全长30.52千米，车站25座．北起鸠江区宝顺路站，中途贯穿鸠江区、镜湖区和弋江区三个行政区，止于弋江区白马山站．全线高架的布置形式，也使之成为芜湖上空的一道全新风景线．据悉一号线一辆列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合中小城市的运营．日前芜湖运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额Y（元）与发车时间间隔t（分钟）相关：当间隔时间达到或超过12分钟后，列车均为满载状态；当时，单程营业额Y与成正比；当时，单程营业额会在时的基础上减少，减少的数量为．

(1)求当时，单程营业额Y关于发车间隔时间t的函数表达式；
(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均次单程运营．为体现节能减排，发车间隔时间，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额P最大？求出该最大值．

6 . 北京市新高考规定，选考科目设等级性考试，等级性考试成绩由高到低分A、B、C、D、E共5等，其中A等占考生比例的，B等占，C等占，D等占，E等不超过.等级性考试成绩每科成绩由5等细化为21级.其中，A1为满分100分，E赋分40分，相邻两级之间的分差均为3分.其中A等和B等的分级及分数对应如下表：

等
比例
级
比例
分数	100	97	94	91	88	85	82	79	76	73

某区统考共有2000名学生参加物理学科考试，学生原始分数均为整数，采用上述方式进行赋分，前600名学生的统计数据如下：

原始分数		95	94	93	92	91	90	89	88
人数	0	3	6	11	15	25	26	34	80
原始分数	87	86	85	84	83	82	81	80
人数	55	45	50	45	45	50	55	55

(1)从前600名学生中任取1人，求其原始分数与赋分相等的概率；
(2)甲､乙两名学生考后估分（原始分数）的分布列为

甲估分	90	89	88	乙估分	90	89	88
概率				概率

直接写出甲､乙两人估分的赋分均值与的大小.

7 . 邢台，简称“邢”，古称邢州、顺德府，拥有3500余年建城史，是华北历史上第一座城市，有“五朝古都、十朝雄郡”之称，现有4区2市12县，总面积1.24万平方公里.至2021年末，全市常住总人口708.79万人，在全省11个地市中排名第6名，2021年全市GDP总量2427.1亿元，位列全省第7名.
(1)假设2021年后邢台市GDP的年平均增长率能保持8%，那么按此增长速度，约经过几年后，邢台市GDP能实现比2021年翻一番？
(2)习近平总书记在党的二十大报告中指出，到2035年我国要基本实现社会主义现代化，人均国内生产总值达到中等发达国家水平.对标国家目标，邢台市未来发展任重道远，需立大格局、树进取心、施非常策、兴落实风，奋力开创高质量超越发展，力争实现2035年GDP比2021年翻两番.要实现这一宏伟目标，从2021年后GDP的年平均增长率至少要保持在多少以上？
（参考数据：，，）

8 . 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”

如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD；

(1)若，，，，求证：；
(2)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦.
(3)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值.

9 . 法国数学家佛朗索瓦·韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理.韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题.
(1)关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值；
(2)关于的方程有两个实数根、，若，求实数的值；
(3)已知集合有且仅有3个元素，这3个元素恰为直角三角形的三条边长，求，的值.

10 . “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则

(1)①点，，求的值．
②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．
(2)已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；
(3)设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标．