1 . 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，给人民生命财产安全和生产生活造成了严重影响.在党和政府强有力的领导下，全国人民众志成城，取得了抗击疫情战争的重大胜利，社会生产、生活全面恢复正常.某中学结合抗疫组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作临时隔离帐篷.将一块边长为6m的正方形材料先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图2），该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心.则直线与平面所成角的正弦值为______.

2 . 给出下列四个语句，其中不正确的是（       ）

A．若且，则

B．在同一坐标系中，与的图象关于直线y=x对称

C．函数的定义域为，则函数的定义域为

D．的增区间是，减区间是

3 . 为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了两个观测站（点在点、点之间），它们到平台的距离分别为海里和海里，记海平面上到两观测站距离，之比为的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区（如图）．

(1)以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
(2)某日在观测站处发现，在该海上平台正南海里的处，有一艘轮船正以每小时海里的速度向北偏东方向航行，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，说明理由；如果进入，则它在安全预警区中的航行时间是几小时．

4 . 给出下列命题，其中正确的是（       ）

A．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底

B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是

C．若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线

D．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则

5 . 某城市公园有一如图所示的绿化带，其形状由一个直径为的半圆和矩形组成，其中.管理部门规划在圆心处建造一个亭子，为了方便游客到亭子游玩,决定从A地出发修建一条经过亭子处到达的公路,具体路线是：在半圆上选点 (异于，点)，从点沿圆弧到点，再从点经过亭子的直线到达边上的点处.已知从点到点的修路费用每千米需要元，从点到点的修路费用每千米需要元，设弧度，从地经点，到地修路所需费用为元.

(1)试将表示为的函数，并写出定义域；
(2)当取何值时，修路所需费用最少?

6 . 如图，在三棱锥，，，E，F分别为AB，SC的中点．

（1）求直线BF与平面ABC所成角的正弦值；
（2）给出以下定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．根据以上定义可知，公垂线段的长度也可以看作是两条异面直线上任意两点连线的方向向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度．
请根据以上定义和理解，求异面直线SE，BF的距离d．

7 . 已知直线 （，且），直线过原点O，且方向向量为，定点，分别作，，垂足分别为A，B．
（1）若点P到直线的距离为1，求k的值；
（2）若直线与直线关于x轴对称，求k的值；
（3）当k变化时，求三角形OAB面积的最大值．

8 . 1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为和，数系扩充后这两个根分别记为和．若，则复数（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 某市政府为确保在“十四五”开局之年做好城市基础设施配套建设，优化公园环境，方便市民休闲活动．计划在城市公园内的一条小河上建造一座桥，如图为建造该桥所用的钢筋混凝土预制件模型（该模型是由一个长方体挖去一个直四棱柱而成）及尺寸（单位：米）

（Ⅰ）问：浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土（钢筋体积略去不计）？
（Ⅱ）为防止该预制件桥梁风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液（假定保护液涂层均匀、单位面积使用的保护液一定），为合理购买保护液数量，请计算该预制件的表面积是多少？
注：，结果精确到0.01．

10 . 如图，已知正方体的棱长为2，则下列结论错误的是（       ）

A．直线与为异面直线

B．直线与平面平行

C．将形状为正方体的铁块磨制成一个球体零件，可能制作的最大零件的表面积为

D．若矩形是某圆柱的轴截面（过圆柱的轴的截面叫做圆柱的轴截面），则从点出发沿该圆柱的侧面到相对顶点的最短距离是