1 . 已知点
是双曲线
上任意一点,则
的值为( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f40d30e12eb843cbbe9b641e5fd56626.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/377a2333ff8c63cbdb20b882d6d5a7ec.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b7d14d26fbf267f4b59b42f494374be.png)
A.2 | B.![]() | C.4 | D.与![]() |
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解题方法
2 . 已知抛物线
的焦点为
,过
的直线
与
交于
两点,点
在第一象限内,点
在
的准线上,则下列判断正确的是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1bb4dd4670828f75bc573b52cdd02e1d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0ed1ec316bc54c37c4286c208f55667.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0ed1ec316bc54c37c4286c208f55667.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f85fca60a11e1af2bf50138d0e3fe62.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/01c74a907dda6bb7d9d56d009d9df253.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
A.若![]() ![]() ![]() ![]() |
B.![]() |
C.若点![]() ![]() ![]() |
D.若点![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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3 . 抽屉原则是德国数学家狄利克雷(P.G.T.Dirichlet,1805~1859)首先提出来的,也称狄利克雷原则. 它有以下几个基本表现形式(下面各形式中所涉及的字母均为正整数):
形式1:把
个元素分为
个集合,那么必有一集合中含有两个或两个以上的元素.
形式2:把
个元素分为
个集合,那么必有一集合中含有
个或
个以上的元素.
形式3:把无穷多个元素分为有限个集合,那么必有一个集合中含有无穷多个元素.
形式4:把
个元素分为
个集合,那么必有一个集合中的元素个数
,也必有一个集合中的元素个数
.(注:若
,则
表示不超过
的最大整数,
表示不小于
的最小整数). 根据上述原则形式解决下面问题:
(1)①举例说明形式1;
②举例说明形式3,并用列举法或描述法表示相关集合.
(2)证明形式2;
(3)圆周上有2024个点,在其上任意标上
(每点只标一个数,不同的点标上不同的数).
①从上面这2024个数中任意挑选1013个数,证明在这1013个数中一定有两个数互质;(若两个整数的公约数只有1,则这两个整数互质)
②证明:在上面的圆周上一定存在一点和与它相邻的两个点所标的三个数之和不小于3038.
形式1:把
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7a0876215b2fd463d151523cd3c6b447.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
形式2:把
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d7cd8c94e185d9c65e172077d4751af9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0623207595425920f16e76a7f8f268b6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0623207595425920f16e76a7f8f268b6.png)
形式3:把无穷多个元素分为有限个集合,那么必有一个集合中含有无穷多个元素.
形式4:把
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ec672a8a4fde8bbf13c64c0a019b21b0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ecbb8016c570a9256d70a23dd0f96a4b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1aedc1c8a16e306bcd6e5154f9ed6dfc.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cfe018e95b845bd5990a6a9e7832dbcc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
(1)①举例说明形式1;
②举例说明形式3,并用列举法或描述法表示相关集合.
(2)证明形式2;
(3)圆周上有2024个点,在其上任意标上
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bc3df7c6fdd066110e41afb214b48db5.png)
①从上面这2024个数中任意挑选1013个数,证明在这1013个数中一定有两个数互质;(若两个整数的公约数只有1,则这两个整数互质)
②证明:在上面的圆周上一定存在一点和与它相邻的两个点所标的三个数之和不小于3038.
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解题方法
4 . 当
,且
时,我们把
叫做数列
的子数列.已知
为正项等比数列,且其公比为
.
(1)直接给出
与
的大小关系.
(2)是否存在这样的
满足:
成等比数列,且子数列
也成等比数列?若存在,请写出一组
的值;否则,请说明理由.
(3)若
,证明:当
,
时,有
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dcc9e15cba1e06e8ecd151d233ecc4b7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/00ff2500b5484b40bb2ccec65979cba7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f070544508ef8ab537b19ef069d5fe6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/09e15be6eb86b5f1746b0036a87c9ca7.png)
(1)直接给出
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9ddcc815a87e95af8100f0c2c7422d10.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
(2)是否存在这样的
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f94299c635e889a3915aeb2b785419ce.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f94299c635e889a3915aeb2b785419ce.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/38cee6526c7e1d9a04854271e135c9f7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f94299c635e889a3915aeb2b785419ce.png)
(3)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ddbc131b15e1df6cf64e65eb88e23042.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b065334d8f60c49f4bd3d9f1373fe4cd.png)
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5 . 养鱼是现在非常热门的养殖项目,为了提高养殖效益,养鱼户们会在市场上购买优质的鱼苗,分种类、分区域进行集中养殖.如图,某养鱼户承包了一个边长为100米的菱形鱼塘(记为菱形
)进行鱼类养殖,为了方便计算,将该鱼塘的所有区域的深度统一视为2米.某养鱼户计划购买草鱼苗、鲤鱼苗和鲫鱼苗这三种鱼苗进行分区域养殖,用不锈钢网将该鱼塘隔离成
,
,
三块区域,图中
是不锈钢网露出水面的分界网边,E在鱼塘岸边
上(点E与D,C均不重合),F在鱼塘岸边
.上(点F与B,C均不重合).其中△
的面积与四边形
的面积相等,△
为等边三角形.
的长.
(2)已知不锈钢网每平方米的价格是20元,为了节约成本,试问点E,F应如何设置,才能使得购买不锈钢网所需的花费最少?最少约为多少元?(安装费忽略不计,取
)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7abd284f76d9f5769bc189508ce2572b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/711a854e969c99cd377f93f2e1d0c2fc.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a1fa63411b334ce13037ac0e81166e5b.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0dc5c9827dfd0be5a9c85962d6ccbfb1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f636f76d550dfb593a25eb680cff556.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/711a854e969c99cd377f93f2e1d0c2fc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3ddc76d96d6951ebfef3fe63892a1114.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4cae70b8a9d2d2e96dea62c00ced04b9.png)
(2)已知不锈钢网每平方米的价格是20元,为了节约成本,试问点E,F应如何设置,才能使得购买不锈钢网所需的花费最少?最少约为多少元?(安装费忽略不计,取
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/181d50b044b3a7bc83ecd1b36e8ad89b.png)
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解题方法
6 . 随着生活水平的不断提高,人们对于身体健康越来越重视.为了解人们的健康情况v某地区一体检机构统计了
年
岁到
岁来体检的人数及年龄在
,
,
,
的体检人数的频率分布情况,如下表.该体检机构进一步分析体检数据发现:
岁到
岁(不含
岁)体检人群随着年龄的增长,所需面对的健康问题越多,具体统计情况如图.
余种常见健康问题.
(1)根据上表,求从
年该体检机构
岁到
岁体检人群中随机抽取
人,此人年龄不低于
岁的频率;
(2)用频率估计概率,从
年该地区
岁到
岁体检人群中随机抽取
人,其中不低于
岁的人数记为
,求
的分布列及数学期望;
(3)根据图的统计结果,有人认为“该体检机构
年
岁到
岁(不含
岁)体检人群健康问题个数平均值一定大于
个,且小于
个”.判断这种说法是否正确,并说明理由.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9e946baf1316ac1f219398ecedadf6cf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4b7f27ebcef70a3ebbbe8d2e53ea0896.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0efba7147f5b9ced8bc4a72f0a9fb8af.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5641c24ea477f7bea0bc891fbd12043e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c4204a934372022fa08a7e739ab46a96.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9ae73f47ca255acadad589b10cafcc65.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/079898350667d1a0cff92efd00b6a629.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3b3779b4ea5477aebfe85113b0de1d60.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e1f959e5f8d89390f0f136f6acc9f6fb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e1f959e5f8d89390f0f136f6acc9f6fb.png)
组别 | 年龄(岁) | 频率 |
第一组 | ||
第二组 | ||
第三组 | ||
第四组 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3b3779b4ea5477aebfe85113b0de1d60.png)
(1)根据上表,求从
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9e946baf1316ac1f219398ecedadf6cf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4b7f27ebcef70a3ebbbe8d2e53ea0896.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0efba7147f5b9ced8bc4a72f0a9fb8af.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bdaa19de263700a15fcf213d64a8cd57.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3b3779b4ea5477aebfe85113b0de1d60.png)
(2)用频率估计概率,从
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9e946baf1316ac1f219398ecedadf6cf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4b7f27ebcef70a3ebbbe8d2e53ea0896.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0efba7147f5b9ced8bc4a72f0a9fb8af.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5ca7d1107389675d32b56ec097464c14.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3b3779b4ea5477aebfe85113b0de1d60.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
(3)根据图的统计结果,有人认为“该体检机构
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9e946baf1316ac1f219398ecedadf6cf.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/41d41c47f0114cda7ec3337225e2a083.png)
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7 . 声音是由物体振动产生的,每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音,其数学模型为
,其中
表示振幅,响度与振幅有关;
表示最小正周期,
,它是物体振动一次所需的时间;
表示频率,
,它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率
:
小明同学利用专业设备,先弹奏五声音阶中的一个音,间隔
个单位时间后,第二次弹奏同一个音(假设两次声音响度一致,且不受外界阻力影响,声音响度不会减弱),若两次弹奏产生的振动曲线在
上重合,根据表格中数据判断小明弹奏的音是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f37088e84230a522586eb9e60089c54a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b68df477b3ee45ac0f725db00d465a1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0dceb375cbb5f7cad9129f22aabf8bcf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca4ff0af96ea467337cb30c4c765b5f7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c02f1e2590c1c301b820a4a717529b8d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca4ff0af96ea467337cb30c4c765b5f7.png)
音 | 宫 | 商 | 角 | 徵 | 羽 |
频率 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4dac452fbb5ef6dd653e7fbbef639484.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9fb22d8add89d149400c5e6221b47d77.png)
A.宫 | B.商 | C.角 | D.徵 |
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8 . 已知
为有穷整数数列,若
满足:
,其中
,
是两个给定的不同非零整数,且
,则称
具有性质
.
(1)若
,
,那么是否存在具有性质
的
?若存在,写出一个这样的
;若不存在,请说明理由;
(2)若
,
,且
具有性质
,求证:
中必有两项相同;
(3)若
,求证:存在正整数
,使得对任意具有性质
的
,都有
中任意两项均不相同.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ed0f8b01eee1e48eb49952a1cd678434.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d3cfeacc29e6a61c5b3b4e439c0a91df.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/87310fb03b3907462f395b1cf2fa9e6c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9aa8a716a31b0f51b70fdf9bdb257909.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f1bd1147d3076ee020d6af6c4cc3eaa8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d3cfeacc29e6a61c5b3b4e439c0a91df.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b68df477b3ee45ac0f725db00d465a1.png)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7e8839dbcce0e0b2d56c870075136fa1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/26d9b6c86435e0ceff94d8ad1cd03737.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b68df477b3ee45ac0f725db00d465a1.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5002f030017f6f0b34a61b2e15c5a9cb.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7e8839dbcce0e0b2d56c870075136fa1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/26d9b6c86435e0ceff94d8ad1cd03737.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/249b92e30f3808f5287db70a9eec6a53.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b68df477b3ee45ac0f725db00d465a1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d09d8084c6590784775495f12d5e8e81.png)
(3)若
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解题方法
9 . 北京市共有16个行政区,东城区、西城区、朝阳区、丰台区、石景山区和海淀区为中心城区,其他为非中心城区.根据《北京市人口蓝皮书・北京人口发展研究报告(2023)》显示,2022年北京市常住人口为2184.3万人,由城镇人口和乡村人口两个部分构成,各区常住人口数量如下表所示:
(1)在16个行政区中随机选择一个,求该区为非中心城区且2022年乡村人口在20万人以下的概率;
(2)若随机从中心城区选取1个,非中心城区选取2个行政区,记选出的3个区中2022年常住人口超过100万人的行政区的个数为
,求
的分布列及数学期望
;
(3)记2022年这16个区的常住人口、城镇人口、乡村人口的方差分别为
,
,
.试判断
,
,
的大小关系.(结论不要求证明)
行政区 | 东城区 | 西城区 | 朝阳区 | 丰台区 | 石景山区 | 海淀区 | 门头沟区 | 房山区 |
城镇人口(万人) | 70.4 | 110 | 343.3 | 199.9 | 56.3 | 305.4 | 36.2 | 102.6 |
乡村人口(万人) | 0 | 0 | 0.9 | 1.3 | 0 | 7 | 3.4 | 28.5 |
行政区 | 通州区 | 顺义区 | 昌平区 | 大兴区 | 怀柔区 | 平谷区 | 密云区 | 延庆区 |
城镇人口(万人) | 137.3 | 87.8 | 185.9 | 161.6 | 32.8 | 27.9 | 34.9 | 20.5 |
乡村人口(万人) | 47 | 44.7 | 40.8 | 37.5 | 11.1 | 17.7 | 17.7. | 13.9 |
(2)若随机从中心城区选取1个,非中心城区选取2个行政区,记选出的3个区中2022年常住人口超过100万人的行政区的个数为
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
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(3)记2022年这16个区的常住人口、城镇人口、乡村人口的方差分别为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dfbc29b47b83fdc5368770b7b1acb439.png)
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解题方法
10 . 将数列
中项数为平方数的项依次选出构成数列
,此时数列
中剩下的项构成数列
;再将数列
中项数为平方数的项依次选出构成数列
,剩下的项构成数列
;….如此操作下去,将数列
中项数为平方数的项依次选出构成数列
,剩下的项构成数列
.
(1)分别写出数列
的前2项;
(2)记数列
的第
项为
.求证:当
时,
;
(3)若
,求
的值.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e23e6ef7192b7390f5128911f2eddc1.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1d7f2c72ab559a0615db4c51327b78d4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/70dd57541d525ff3cfe31ca52d0071ec.png)
(1)分别写出数列
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4bfefd19874aeff8340735b3df468333.png)
(2)记数列
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7a0d7559d8dfa8236ca9d4b1853fbdec.png)
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(3)若
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/280860dd039e1305a5ccc455f63e8223.png)
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