1 . 三棱柱中，，线段的中点为，且．

   

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

2 . 如图，四棱锥中，为矩形，平面平面；

(1)求证：；
(2)已知三角形为边长为2的正三角形，且与底面所成角为，求平面与平面所成的锐二面角的大小.（结果用反三角函数表示）

3 . 如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点．

(1)求证：直线平面；
(2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小．

4 . 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点．

(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．

5 . 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点是的中点，分别是的中点．

(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积．

6 . 如图，在长方体中，.

(1)求二面角的正切值；
(2)设三棱锥的体积为，是否存在体积为（为正整数），且十二条棱长均相等的直四棱柱，使得它的所有棱长和为24，若存在，求出该直四棱柱底面菱形的内角的大小；若不存在，请说明理由.

7 . 在如图所示的直三棱柱中，，分别是，的中点.

   

(1)求证：平面；
(2)若为直角三角形，，，求直线与平面所成角的大小；
(3)若为正三角形，，问：在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.

8 . 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.

(1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(2)求点到平面的距离；
(3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由.

9 . 如图，已知正方体的棱长为6，点在该正方体的表面上运动.

(1)若，求点的轨迹长度；
(2)已知到三个平面中的两个平面的距离相等，且到剩下一个平面的距离与到此正方体的中心的距离相等，求满足条件的点个数；
(3)若点是线段的中点，是正方形（包括边界）上运动，且满足，求点的轨迹长度.

10 . （1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中是该圆锥的高，求该圆锥的体积；
（2）“老六”将周长为4的矩形绕旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形的面积.