名校
解题方法
1 . 有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边
长为6分米，另一边足够长.现从中截取矩形
（如图甲所示），其中
是以
为圆心，
的扇形，且弧
分别与边
相切于点
.剪去图中的阴影部分，剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计）.
(1)当
长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；
(2)当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？
长为6分米，另一边足够长.现从中截取矩形（如图甲所示），其中是以为圆心，的扇形，且弧分别与边相切于点.剪去图中的阴影部分，剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计）.(1)当
长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；(2)当
的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？
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解题方法
2 . 在棱长为1的正方体
中，
分别是棱
的中点．
(1)求二面角
的大小；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)若点G是棱
上一点，当G在何处时，
平面？
中，分别是棱的中点．(1)求二面角
的大小；(2)求点
到平面的距离；(3)若点G是棱
上一点，当G在何处时，平面？
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解题方法
3 . 在圆锥
中，
是底面圆周上一点.设
的长为1，且圆锥的侧面展开图是半圆.
(1)记圆锥的底面圆半径为
，母线长为
，则圆锥的侧面积
______（用
表示）；在本题中，求圆锥的侧面积；
(2)求母线
与底面所成角的大小.
中，是底面圆周上一点.设的长为1，且圆锥的侧面展开图是半圆.(1)记圆锥的底面圆半径为
，母线长为，则圆锥的侧面积______（用表示）；在本题中，求圆锥的侧面积；(2)求母线
与底面所成角的大小.
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解题方法
4 . 如图所示的正四棱柱的底面边长为1，侧棱
，点E在棱
上，且
.
(1)求三棱锥
的体积；
(2)求异面直线与
所成角的大小.（结果用反三角函数表示）
的底面边长为1，侧棱，点E在棱上，且. (1)求三棱锥
的体积；(2)求异面直线
与所成角的大小.（结果用反三角函数表示）
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解题方法
5 . 如图，正四棱柱中，底面边长为
，侧棱长为4，
、
分别为、
的中点，
.
(1)求证：
平面
(2)以
为原点，射线
、
、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
①求平面
的一个法向量；
②求三棱锥
的体积
.
中，底面边长为，侧棱长为4，、分别为、的中点，.(1)求证：
平面(2)以
为原点，射线、、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.①求平面
的一个法向量；②求三棱锥
的体积.
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解题方法
6 . 如图，在直三棱柱
中，已知
为的中点.
(1)求直三棱柱的表面积；
(2)求异面直线
与所成角的大小（用反三角函数表示）；
(3)求证：
平面
.
中，已知为的中点.(1)求直三棱柱
的表面积；(2)求异面直线
与所成角的大小（用反三角函数表示）；(3)求证：
平面.
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7 . 如图所示，在四棱锥
中，
平面，底面是正方形，且
，四棱锥的体积为
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成的角；
(3)求点到平面
的距离.
中，平面，底面是正方形，且，四棱锥的体积为.(1)求证：平面
平面；(2)求直线
与平面所成的角；(3)求点
到平面的距离.
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8 . 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥
与一个圆柱
构成的几何体
（如图2，其中
，
，三点共线）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为
，当
时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.6米，底面半径为2.4米.圆柱高为3米，底面半径为2米.
(1)求几何体的体积；
(2)如图2，设为圆柱底面半圆弧
的三等分点，求圆柱母线
和圆锥母线
所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求.
与一个圆柱构成的几何体（如图2，其中，，三点共线）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.6米，底面半径为2.4米.圆柱高为3米，底面半径为2米.(1)求几何体
的体积；(2)如图2，设
为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求.
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解题方法
9 . 如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆，公园内的小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知
米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪 （如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的激光投射在物体表面上的光点之间的距离）．
(1)甲同学来到通往山脚下的笔直小路上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点
处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示出小山的高度
；
(2)乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆似乎是由于在根部处松动产生了倾斜．她提出的问题是：如何检验旗杆是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独立测量方案．请你写出她的方案，并说明理由；
(3)已知（1）中的小路是东西方向，且与点所确定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同学已经断定旗杆大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）．
，公园内的小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪 （如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的激光投射在物体表面上的光点之间的距离）． (1)甲同学来到通往山脚下的笔直小路
上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示出小山的高度；(2)乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆
似乎是由于在根部处松动产生了倾斜．她提出的问题是：如何检验旗杆是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独立测量方案．请你写出她的方案，并说明理由；(3)已知（1）中的小路
是东西方向，且与点所确定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同学已经断定旗杆大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）．
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10 . 在空间直角坐标系中，设
、
、
、
．
(1)设
，
，求
的坐标，并判断
、是否平行；
(2)求
、
的夹角
，以及、为相邻两边的三角形面积
．
、、、．(1)设
，，求的坐标，并判断、是否平行；(2)求
、的夹角，以及、为相邻两边的三角形面积．
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