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解题方法
1 . 材料1.类比是获取数学知识的重要思想之一,很多优美的数学结论就是利用类比思想获得的.例如:若,,则,当且仅当时,取等号,我们称为二元均值不等式.类比二元均值不等式得到三元均值不等式:,,,则,当且仅当时,取等号.我们经常用它们求相关代数式或几何问题的最值,某同学做下面几何问题就是用三元均值不等式圆满完成解答的.
题:将边长为的正方形硬纸片(如图1)的四个角裁去四个相同的小正方形后,折成如图2的无盖长方体小纸盒,求纸盒容积的最大值.
当且仅当,即时取等号.所以纸金的容积取得最大值.在求的最大值中,用均值不等式求最值时,遵循“一正二定三相等”的规则.你也可以将变形为求解.
你还可以设纸盒的底面边长为,高为,则,则纸盒容积
.
当且仅当,即,时取等号,所以纸盒的容积取得最大值.
材料2.《数学必修二》第八章8.3节习题8.3设置了如下第4题:
如图1,圆锥的底面直径和高均为,过的中点作平行于底面的截面,以该截面为底的面挖去一个圆柱,求剩下几何体的表面积和体积.我们称圆柱为圆锥的内接圆柱.
根据材料1与材料2完成下列问题.
如图2,底面直径和高均为的圆锥有一个底面半径为,高为的内接圆柱.
(2)求圆柱侧面积的最大值;
(3)求圆柱体积的最大值.
题:将边长为的正方形硬纸片(如图1)的四个角裁去四个相同的小正方形后,折成如图2的无盖长方体小纸盒,求纸盒容积的最大值.
解:设截去的小正方形的边长为,则纸盒容积
当且仅当,即时取等号.所以纸金的容积取得最大值.在求的最大值中,用均值不等式求最值时,遵循“一正二定三相等”的规则.你也可以将变形为求解.
你还可以设纸盒的底面边长为,高为,则,则纸盒容积
.
当且仅当,即,时取等号,所以纸盒的容积取得最大值.
材料2.《数学必修二》第八章8.3节习题8.3设置了如下第4题:
如图1,圆锥的底面直径和高均为,过的中点作平行于底面的截面,以该截面为底的面挖去一个圆柱,求剩下几何体的表面积和体积.我们称圆柱为圆锥的内接圆柱.
根据材料1与材料2完成下列问题.
如图2,底面直径和高均为的圆锥有一个底面半径为,高为的内接圆柱.
(1)求与的关系式;
(2)求圆柱侧面积的最大值;
(3)求圆柱体积的最大值.
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2 . 如图,在平行六面体中,,,.用向量法 解下列问题:
(1)求长度;
(2)求证:;
(3)若点M,N分别在直线和上运动,当且时(MN为公垂线段,这样的MN只有一条),求MN的长度.
(1)求长度;
(2)求证:;
(3)若点M,N分别在直线和上运动,当且时(MN为公垂线段,这样的MN只有一条),求MN的长度.
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解题方法
3 . 在四棱锥中,底面是正方形,为棱的中点,,且,请求解下列问题.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值;
(3)求点到平面的距离.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值;
(3)求点到平面的距离.
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解题方法
4 . 《九章算术商功》:“斜解立方,得两斩堵.斜解暂堵,其一为阳马,一为鳖臑期马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣,”刘徽注:“此术臑者,背节也,或曰半阳马,其形有似鳖肘,故以名云.中破阳马,得两鳖臑,鳖臑之起数,数同而实据半,故云六而一即得.”
如图,在鳖臑中,侧棱底面;
(1)若,,,,求异面直线与所成角的余弦值;
(2)若,,点在棱上运动.求面积的最小值.
如图,在鳖臑中,侧棱底面;
(1)若,,,,求异面直线与所成角的余弦值;
(2)若,,点在棱上运动.求面积的最小值.
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解题方法
5 . 《九章算术·商功》:“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣.”刘徽注:“此术臑者,背节也,或曰半阳马,其形有似鳖肘,故以名云.中破阳马,得两鳖臑,鳖臑之起数,数同而实据半,故云六而一即得.”
如图,在鳖臑ABCD中,侧棱AB⊥底面BCD;
(1)若,,,试求异面直线AC与BD所成角的余弦值.
(2)若,,点P在棱AC上运动.试求面积的最小值.
如图,在鳖臑ABCD中,侧棱AB⊥底面BCD;
(1)若,,,试求异面直线AC与BD所成角的余弦值.
(2)若,,点P在棱AC上运动.试求面积的最小值.
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6 . 如图,在堑堵中(注:堑堵是一长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解所得的几何体,即两底面为直角三角形的直三棱柱,最早的文字记载见于《九章算术》商功章),已知平面,,,点、分别是线段、的中点.
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的余弦值.
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2023-08-02更新
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1077次组卷
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8卷引用:浙江省宁波市慈溪市2022-2023学年高一下学期期末数学试题
浙江省宁波市慈溪市2022-2023学年高一下学期期末数学试题辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题(已下线)压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式)练(已下线)第四章 立体几何解题通法 专题二 升维法 微点3 升维法综合训练【培优版】(已下线)第六章 突破立体几何创新问题 专题一 交汇中国古代文化 微点1 与中国古代文化遗产有关的立体几何问题(一)【基础版】(已下线)重难点专题13 轻松搞定线面角问题-【帮课堂】(苏教版2019必修第二册)(已下线)专题08立体几何期末14种常考题型归类(1)-期末真题分类汇编(人教B版2019必修第四册)青海省西宁市第十四中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试卷
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解题方法
7 . 设常数.在棱长为1的正方体中,点满足,点分别为棱上的动点(均不与顶点重合),且满足,记.以为原点,分别以的方向为轴的正方向,建立如图空间直角坐标系
(1)用和表示点的坐标;
(2)设,若,求常数的值;
(3)记到平面的距离为.求证:若关于的方程在上恰有两个不同的解,则这两个解中至少有一个大于.
(1)用和表示点的坐标;
(2)设,若,求常数的值;
(3)记到平面的距离为.求证:若关于的方程在上恰有两个不同的解,则这两个解中至少有一个大于.
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解题方法
8 . 九章算术商功“斜解立方,得两堑堵斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑阳马居二,鳖臑居一,不易之率也合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣”刘徽注:“此术臑者,背节也,或曰半阳马,其形有似鳖肘,故以名云中破阳马,得两鳖臑,鳖臑之起数,数同而实据半,故云六而一即得”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓,取一长方体,按下图斜割一分为二,得两个一模一样的三棱柱,称为堑堵再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开,得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底,另有一棱与底面垂直的四棱锥,称为阳马余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体,称为鳖臑.
(1)在下左图中画出阳马和鳖臑不写过程,并用字母表示出来,求阳马和鳖臑的体积比;
(2)若,,在右图中,求三棱锥的高.
(1)在下左图中画出阳马和鳖臑不写过程,并用字母表示出来,求阳马和鳖臑的体积比;
(2)若,,在右图中,求三棱锥的高.
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9 . (1)求一个棱长为的正四面体的体积,有如下未完成的解法,请你将它补充完成.解:构造一个棱长为1的正方体—我们称之为该四面体的“生成正方体”,如左下图:则四面体为棱长是___________的正四面体,且有___________.
(2)模仿(1),对一个已知四面体,构造它的“生成平行六面体”,记两者的体积依次为和,试给出这两个体积之间的一个关系式,不必证明;
(3)如1图,一个相对棱长都相等的四面体(通常称之为等腰四面体),其三组棱长分别为,,,类比(1)(2)中的方法或结论,求此四面体的体积.
(2)模仿(1),对一个已知四面体,构造它的“生成平行六面体”,记两者的体积依次为和,试给出这两个体积之间的一个关系式,不必证明;
(3)如1图,一个相对棱长都相等的四面体(通常称之为等腰四面体),其三组棱长分别为,,,类比(1)(2)中的方法或结论,求此四面体的体积.
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2021-09-02更新
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421次组卷
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6卷引用:专题08多面体与旋转体(2个知识点3种题型1种高考考法)-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练(沪教版2020必修第三册)
(已下线)专题08多面体与旋转体(2个知识点3种题型1种高考考法)-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练(沪教版2020必修第三册)上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题(已下线)8.3简单几何体的表面积与体积C卷沪教版(2020) 必修第三册 同步跟踪练习 第11章 11.3.1 多面体(已下线)第02讲 简单几何体(核心考点讲与练)(2)(已下线)11.3 多面体与旋转体(作业)(夯实基础+能力提升)-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件(沪教版2020必修第三册)
2021·上海浦东新·三模
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10 . 某工厂承接制作各种弯管的业务,其中一类弯管由两节圆管组成,且两节圆管是形状、大小均相同的斜截圆柱,其尺寸如图1所示(单位:),其中斜截面与底面所成的角为,将其中一个斜截圆柱的侧面沿剪开并摊平,可以证明由截口展开而成的曲线是函数的图像,其中,,如图2所示.
(1)若,求的解析式;
(2)已知函数的图像与x轴围成区域的面积可由公式计算,若制作该种该类弯管的一截圆管所用材料面积(即斜截圆柱的侧面积)等于与之底面相同且高为的圆柱的面积,求的值(结果精确到).
(1)若,求的解析式;
(2)已知函数的图像与x轴围成区域的面积可由公式计算,若制作该种该类弯管的一截圆管所用材料面积(即斜截圆柱的侧面积)等于与之底面相同且高为的圆柱的面积,求的值(结果精确到).
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