1 . 已知数列的前n项和，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前n项和为，比较和的大小.

2 . 对于函数，若在定义域内存在实数x满足，则称函数为“局部奇函数”．
(1)若函数在区间上为“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
(2)若函数在定义域R上为“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

3 . 对于函数.
(1)若，求在上的值域；
(2)若与图象恰有一个交点，求实数a的取值范围.

4 . 若函数为定义在R上的奇函数．
(1)求实数a的值，并判断函数的单调性；
(2)若对任意的实数，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

5 . 已知函数在区间上有最大值11和最小值3，且．
(1)求的值；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围．

6 . （1）计算：：
（2）已知是第三象限角，且
①求的值；
②求的值．
（3）化简：．

7 . 信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵.
(1)当时，计算；
(2)若，判断并证明当增大时，的变化趋势；
(3)若，随机变量所有可能的取值为，且，证明：.

8 . 已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)求的最大值，并求取得最大值时的值．

9 . 设集合，若关于的不等式的解集为．
(1)求函数的解析式；
(2)求关于的不等式的解集，其中．

10 . 已知函数．
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)若，求实数的值．