1 . 已知函数   .
(1)用单调性定义证明：在上单调递增；
(2)若函数有3个零点，满足，且 .
①求证： ；
②求的值（表示不超过的最大整数）.

2 . 在数学中，不给出具体解析式，只给出函数满足的特殊条件或特征的函数称为“抽象函数”．我们需要研究抽象函数的定义域、单调性、奇偶性等性质．对于抽象函数，当时，，且满足：，均有
(1)证明：在上单调递增；
(2)若函数满足上述函数的特征，求实数的取值范围；
(3)若，求证：对任意，都有．

3 . 已知函数的定义域为区间值域为区间，若则称是的缩域函数.

(1)若是区间的缩域函数，求a的取值范围；
(2)设为正数，且若是区间的缩域函数，证明：

（i）当时，在单调递减;

（ii）

4 . 已知结论：设函数的定义域为，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然．特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数．设函数．
(1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(2)计算的值，并根据结论写出函数的图象的对称中心；
(3)若不等式对恒成立，求实数的最大值．

5 . 给定函数与，若为减函数且值域为（为常数），则称对于具有“确界保持性”.
(1)证明：函数对于不具有“确界保持性”；
(2)判断函数对于是否具有“确界保持性”；
(3)若函数对于具有“确界保持性”，求实数的值.

6 . 若函数在定义域上满足，且时,定义域为的为偶函数.
(1)求证：函数在定义域上单调递增.
(2)若在区间上，；在上的图象关于点对称.
（i）求函数和函数在区间上的解析式.
（ii）若关于x的不等式，对任意定义域内的恒成立，求实数存在时，的最大值关于a的函数关系.

7 . 定义在上的函数满足，且对任意的（其中）均有.
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)若对所有恒成立，求实数的取值范围；
(3)若（1）中的函数的图象是经过和的一条直线，函数的定义域为，若存在区间，使得当的定义域为时，的值域也为，求实数的取值范围.

8 . 给出函数，
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，且，求的取值范围；
(3)若，非零实数，满足，求证：.

9 . 已知函数的定义域为，，，且在区间上单调递减．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)当时，求不等式的解集．

10 . 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质．
(1)已知，判断是否满足性质，并说明理由；
(2)若满足性质，且定义域为．
已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由；
若在上单调递增，判定并证明在上的单调性．