1 . 如图，动直线与抛物线：交于A，B两点，点C是以AB为直径的圆与的一个交点（不同于A，B），点C在AB上的投影为点M，直线为的一条切线.

       

(1)证明：为定值；
(2)求与的内切圆半径之和的取值范围.

2 . 设为坐标原点，为抛物线上异于的一点，，．
(1)求的最小值；
(2)求的取值范围；
(3)证明：．

3 . 若存在使得对任意恒成立，则称为函数在上的最大值点，记函数在上的所有最大值点所构成的集合为

(1)若，求集合；
(2)若，求集合；
(3)设为大于1的常数，若，证明，若集合中有且仅有两个元素，则所有满足条件的从小到大排列构成一个等差数列．

4 . 已知集合A和定义域为的函数，若对任意，，都有，则称是关于A的同变函数.
(1)当与时，分别判断是否为关于A的同变函数，并说明理由；
(2)若是关于的同变函数，且当时，，试求在上的表达式，并比较与的大小；
(3)若n为正整数，且是关于的同变函数，求证：既是关于的同变函数，也是关于的同变函数.

5 . 已知函数在上单调递减，在上单调递增．记函数．
(1)写出函数的单调区间（无需说明理由）及其最小值；
(2)若直线与函数和的图象共有三个不同的交点，从左到右依次记为，，，试证明：．

6 . 若定义在区间上的函数满足：存在常数，使得对任意的，都有成立，则称为一个有界变差函数，并将满足条件的的最小值称为的全变差.
(1)判断函数，和（为有理数集）是否为有界变差函数；（无需说明理由）
(2)求函数的全变差；
(3)证明：函数是上的有界变差函数.

7 . 已知函数.
(1)设的反函数为，求的最值.
(2)函数满足，求证：当时，.

8 . 已知，.
(1)若，求在区间上的最小值（直接写出结论，结果用表示）；
(2)我们知道：当时，.设，求证：当时，恒成立；
(3)若，，其中且，是和图像的一个公共点，，求证：和的图像必存在异于点A的另一个公共点.

9 . 已知函数（e为自然对数的底数）.
(1)求证：时，；
(2)设的解为（，2，…），.
①当时，求的取值范围；
②判断是否存在，使得成立，并说明理由.

10 . 记集合．
(1)若，求证：；
(2)设集合且，若，，求的取值范围；
(3)若，求证：．