解题方法
1 . 在数学中，不给出具体解析式，只给出函数满足的特殊条件或特征的函数称为“抽象函数”．我们需要研究抽象函数的定义域、单调性、奇偶性等性质．对于抽象函数
，当
时，
，且满足：
，均有
(1)证明：在
上单调递增；
(2)若函数
满足上述函数的特征，求实数
的取值范围；
(3)若
，求证：对任意
，都有
．
，当时，，且满足：，均有(1)证明：
在上单调递增；(2)若函数
满足上述函数的特征，求实数的取值范围；(3)若
，求证：对任意，都有．
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解题方法
2 . 悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.
年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为
，其中
为参数.当
时，该方程就是双曲余弦函数
，类似的我们有双曲正弦函数
.
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数
的最小值；
①
；
②
；
③
.
(2)求证：
，
.
年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数
的最小值；①
；②
；③
.(2)求证：
，.
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2022-02-01更新
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1215次组卷
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7卷引用：江苏省苏州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
江苏省苏州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高一下学期“同济大学”杯数理化联赛数学试题湖南省株洲市南方中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题重庆市2023届高三下学期3月月度质量检测数学试题（已下线）重难点突破02 函数的综合应用（九大题型）（已下线）压轴题函数与导数新定义题(九省联考第19题模式）讲（已下线）压轴题三角函数新定义题(九省联考第19题模式）讲
12-13高一上·北京·期中
3 . 定义在
上的函数 ，如果满足：对任意
，存在常数
，都有
成立，则称是上的有界函数，其中
称为函数的上界.
（1）判断函数
是否是有界函数，请写出详细判断过程；
（2）试证明：设
，若
在上分别以
为上界，求证：函数
在上以
为上界；
（3）若函数
在
上是以
为上界的有界函数，求实数
的取值范围.
上的函数 ，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.（1）判断函数
是否是有界函数，请写出详细判断过程；（2）试证明：设
，若在上分别以 为上界，求证：函数在上以为上界；（3）若函数
在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.
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解题方法
4 . 已知函数
是定义在R上的奇函数.
(1)求
的值；
(2)已知函数在
上单调递增；
①判断在
上的单调性（直接写结果，无需证明）；
②对任意
，不等式
恒成立时，求
的取值范围；
(3)设函数
，求
在
上的最小值.
是定义在R上的奇函数.(1)求
的值；(2)已知函数
在上单调递增；①判断
在上的单调性（直接写结果，无需证明）；②对任意
，不等式恒成立时，求的取值范围；(3)设函数
，求在上的最小值.
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5 . “函数
的图象关于点
对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有
”，已知函数
．
(1)证明：函数的图象关于点
对称；
(2)若函数的图象关于点
对称，且当
时，
．若对任意
，总存在
，使得
成立，求实数a的取值范围．
的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”，已知函数．(1)证明：函数
的图象关于点对称；(2)若函数
的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．
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2023高二下·浙江·学业考试
6 . 已知函数
，
.
(1)若
是奇函数，求a的值并判断的单调性（单调性不需证明）；
(2)对任意
，总存在唯一的
，使得成立，求正实数a的取值范围.
，.(1)若
是奇函数，求a的值并判断的单调性（单调性不需证明）；(2)对任意
，总存在唯一的，使得成立，求正实数a的取值范围.
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2023-06-12更新
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1250次组卷
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3卷引用：专题4.6 指、对数函数的综合应用大题专项训练-举一反三系列
名校
7 . 定义：双曲余弦函数
，双曲正弦函数
．
(1)求函数
的最小值；
(2)若函数
在
上的最小值为
，求正实数的值；
(3)求证：对任意实数，关于
的方程
总有实根．
，双曲正弦函数．(1)求函数
的最小值；(2)若函数
在上的最小值为，求正实数的值；(3)求证：对任意实数
，关于的方程总有实根．
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解题方法
8 . 已知函数
是指数函数，函数
.
(1)求函数
在
上的值域；
(2)若函数是定义域为
的奇函数，试判断函数的单调性，并用定义证明.
是指数函数，函数.(1)求函数
在上的值域；(2)若函数
是定义域为的奇函数，试判断函数的单调性，并用定义证明.
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名校
9 . 已知函数
和的定义域分别为
和
，若对任意的
都存在
个不同的实数
，使得
（其中
），则称为的“重覆盖函数”．
(1)试判断
是否为
的“2重覆盖函数”？请说明理由；
(2)求证：
是
的“4重覆盖函数”；
(3)若
为
的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围．
和的定义域分别为和，若对任意的都存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”．(1)试判断
是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；(2)求证：
是的“4重覆盖函数”；(3)若
为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围．
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2022-11-06更新
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630次组卷
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5卷引用： 重庆市云阳高级中学校2022-2023学年高一上学期第三次质量检测数学试题
名校
解题方法
10 . 已知函数
，
．
(1)证明函数在
上单调递减；
(2)若
，
，使得
，求实数a的取值范围；
(3)若关于x的不等式：
在上有解，求实数a的取值范围．
，．(1)证明函数
在上单调递减；(2)若
，，使得，求实数a的取值范围；(3)若关于x的不等式：
在上有解，求实数a的取值范围．
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