1 . 已知函数.
(1)求函数恒过哪一个定点，写出该点坐标；
(2)令函数，当时，证明：函数在区间上有零点.

2 . 设函数，其中.
(1)若函数是偶函数，求实数的值；
(2)若，记，求证：函数在上有零点.

3 . 已知函数，且的图象经过点.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最小值；
(3)若，求证：在区间内存在零点.

4 . 已知函数（且）的图象经过点．
(1)求a的值及在区间上的最大值；
(2)若，求证：在区间内存在零点．

5 . 已知函数．
(1)求函数恒过哪一个定点，写出该点坐标；
(2)若，令函数，当时，证明：函数在区间上有零点．

6 . 已知函数，
(1)求的最大值；
(2)证明：函数有零点.

7 . 已知函数的定义域为D，对于给定的正整数k，若存在，使得函数满足：函数在上是单调函数且的最小值为ka，最大值为kb，则称函数是“倍缩函数”，区间是函数的“k倍值区间”．
(1)判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）
(2)证明：函数存在“2倍值区间”；
(3)设函数，，若函数存在“k倍值区间”，求k的值．

8 . 已知函数.
(1)证明：当时，在上有零点.
(2)当时，关于x的方程在上没有实数解，求m的取值范围.

9 . 若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”．
(1)函数是否有“飘移点”？请说明理由；
(2)证明函数在上有“飘移点”；
(3)若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围．

10 . 已知函数.
（1）判断函数的单调性；
（2）求证：函数在区间上有零点.