1 . 设
(1)若
，讨论
的单调性;
(2)若
，求的最大值(用
表示);
(3)若恰有三个极值点，直接写出的取值范围.
(1)若
，讨论的单调性;(2)若
，求的最大值(用表示);(3)若
恰有三个极值点，直接写出的取值范围.
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2 . 对三次函数
，如果其存在三个实根
，则有
.称为三次方程根与系数关系.
(1)对三次函数
，设
，存在
，满足
.证明：存在
，使得
；
(2)称
是
上的广义正弦函数当且仅当存在极值点
，使得
.在平面直角坐标系
中，
是第一象限上一点，设
.已知
在
上有两根
.
（i）证明：在
上存在两个极值点的充要条件是
；
（ii）求点
组成的点集，满足是
上的广义正弦函数.
，如果其存在三个实根，则有.称为三次方程根与系数关系.(1)对三次函数
，设，存在，满足.证明：存在，使得；(2)称
是上的广义正弦函数当且仅当存在极值点，使得.在平面直角坐标系中，是第一象限上一点，设.已知在上有两根.（i）证明：
在上存在两个极值点的充要条件是；（ii）求点
组成的点集，满足是上的广义正弦函数.
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3 . 设
，满足
．
(1)证明：若
，则当
时，
．
(2)若存在满足
，证明
．
，满足．(1)证明：若
，则当时，．(2)若存在
满足，证明．
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4 . 已知函数
．设
为的导函数．
(1)证明：有且仅有一个极值点；
(2)判断的所有零点之和与
的大小关系，并说明理由．
．设为的导函数．(1)证明：
有且仅有一个极值点；(2)判断
的所有零点之和与的大小关系，并说明理由．
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名校
5 . 已知函数
，其中
是自然对数的底数.
(1)设的极小值为
，求的最大值；
(2)若存在
使得
，且
，求的取值范围.
，其中是自然对数的底数.(1)设
的极小值为，求的最大值；(2)若存在
使得，且，求的取值范围.
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2022-08-13更新
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1064次组卷
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3卷引用：湖南省湘西州吉首市2022年第一届中小学生教师解题大赛数学试题
湖南省湘西州吉首市2022年第一届中小学生教师解题大赛数学试题湖北省高中名校联盟2023届高三上学期第一次联合测评数学试题（已下线）第4讲：利用导数研究函数的零点问题【练】 高三清北学霸150分晋级必备
名校
解题方法
6 . 已知函数
，是自然对数的底数，则（ ）
，是自然对数的底数，则（ ）A．的最大值为 |
B． |
C．若 ，则 |
D．对任意两个正实数 ，且 ，若，则 |
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2022-05-15更新
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1445次组卷
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4卷引用：湖南省湘西州吉首市2022年第一届中小学生教师解题大赛数学试题
名校
7 . 已知函数
，
.
（1）若函数
在
处的切线与直线
平行，求实数
的值；
（2）试讨论函数在区间
上的最大值；
（3）若
时，函数恰有两个零点
，求证：
.
，.（1）若函数
在处的切线与直线平行，求实数的值；（2）试讨论函数
在区间上的最大值；（3）若
时，函数恰有两个零点，求证：.
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2018-12-08更新
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1069次组卷
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8卷引用：2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
（已下线）2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛2016届湖北七市教研协作体高三4月联考数学（文）试卷（已下线）《2018-2019学年同步单元双基双测AB卷》【文科数学B】第二章第二练函数图像的应用及函数与方程【校级联考】新余四中、上高二中2019届高三第一次联考数学（文）试题【市级联考】河南省洛阳市2019届高三上学期尖子生第二次联考数学文科试题辽宁省六校协作体2019-2020学年高三上学期开学考试数学（理）试题辽宁省六校协作体2019-2020学年高三上学期开学考试数学（文）试卷2019届湖南省永州市祁阳县高三下学期第二次模拟考试理科数学试题
名校
8 . 已知函数
.
（1）若在
处导数相等，证明：
；
（2）若对于任意
，直线
与曲线
都有唯一公共点，求实数
的取值范围.
.（1）若
在 处导数相等，证明： ；（2）若对于任意
，直线 与曲线都有唯一公共点，求实数的取值范围.
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2018-10-12更新
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2303次组卷
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4卷引用：2019年全国高中数学联赛甘肃省预赛
名校
解题方法
9 . 已知函数
(
)在定义域内仅有唯一零点．
(1)若对
，不等式
恒成立，求实数的最大值；
(2)设函数
，对于
，
，且，求证：
．
()在定义域内仅有唯一零点．(1)若对
，不等式恒成立，求实数的最大值；(2)设函数
，对于，，且，求证：．
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名校
10 . 已知函数
，
.
（1）求
的极值点；
（2）对任意的
，记在
上的最小值为
，求
的最小值.
，.（1）求
的极值点；（2）对任意的
，记在上的最小值为，求的最小值.
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