1 . 已知．
(1)讨论的单调性；
(2)若且有2个极值点，，求证：．

2 . 若对任意的恒成立，则k的取值范围是________．

3 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数存在两个零点，求实数的取值范围．

4 . 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是_______________.

5 . 已知函数.
(1)若，求函数过点的切线方程;
(2)证明:当时，.

6 . 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.
(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.

7 . 2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，红星机械厂积极响应决定投资生产产品．经过市场调研，生产产品的固定成本为300万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件产品的售价为200元，通过市场分析，生产的产品可以全部销售完．
(1)求利润函数的解析式；
(2)求利润函数的最大值．

8 . 已知函数的单调递增区间是单调递减区间是．
(1)求函数的解析式；
(2)若的图象与直线恰有三个公共点，求的取值范围

9 . 已知函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有三个不同的实根，求的取值范围．

10 . 已知函数.
(1)若函数在处取得极值，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围;
(2)若，讨论方程根的个数.