1 . 定义:若函数与的图象在上有且仅有一个交点,则称函数与在上单交,此交点被称为“单交点”.已知函数,,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,
(i)求证:函数与在上存在“单交点”;
(ⅱ)对于(i)中的正数,证明:.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,
(i)求证:函数与在上存在“单交点”;
(ⅱ)对于(i)中的正数,证明:.
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2024-05-27更新
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349次组卷
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2卷引用:黑龙江省哈尔滨市六校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷
2 . 已知,
(1)求函数的导数,并证明:函数在上是严格减函数(常数为自然对数的底);
(2)根据(1),判断并证明与的大小关系,并请推广至一般的结论(无须证明);
(3)已知、是正整数,,,求证:是满足条件的唯一一组值.
(1)求函数的导数,并证明:函数在上是严格减函数(常数为自然对数的底);
(2)根据(1),判断并证明与的大小关系,并请推广至一般的结论(无须证明);
(3)已知、是正整数,,,求证:是满足条件的唯一一组值.
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2022-12-15更新
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843次组卷
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6卷引用:上海市高二下学期期末真题必刷01(易错题)--高二期末考点大串讲(沪教版2020选修)
(已下线)上海市高二下学期期末真题必刷01(易错题)--高二期末考点大串讲(沪教版2020选修)(已下线)上海市高二下学期期末真题必刷04(压轴题)--高二期末考点大串讲(沪教版2020选修)上海市嘉定区2023届高三上学期一模数学试题重庆市2023届高三下学期2月月度质量检测数学试题(已下线)核心考点09导数的应用(1)上海市静安区市北中学2024届高三上学期12月月考数学试题
解题方法
3 . (1)求函数的单调区间.
(2)用向量方法证明:已知直线l,a和平面,,,,求证:.
(2)用向量方法证明:已知直线l,a和平面,,,,求证:.
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4 . 某同学解答一道导数题:“已知函数f(x)=sinx,曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线为l.求证:直线l在点(0,0)处穿过函数f(x)的图象.”
该同学证明过程如下:
证明:因为f(x)=sinx,
所以.
所以.
所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.
若想证直线l在点(0,0)处穿过函数f(x)的图象,
只需证g(x)=f(x)﹣x=sinx﹣x在x=0两侧附近的函数值异号.
由于g'(x)=cosx﹣1≤0,
所以g(x)在x=0附近单调递减.
因为g(0)=0,
所以g(x)在x=0两侧附近的函数值异号.
也就是直线l在点(0,0)处穿过函数f(x)的图象.
参考该同学解答上述问题的过程,请你解答下面问题:
已知函数f(x)=x3﹣ax2,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线为l.若l在点P处穿过函数f(x)的图象,则a的值为( )
该同学证明过程如下:
证明:因为f(x)=sinx,
所以.
所以.
所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.
若想证直线l在点(0,0)处穿过函数f(x)的图象,
只需证g(x)=f(x)﹣x=sinx﹣x在x=0两侧附近的函数值异号.
由于g'(x)=cosx﹣1≤0,
所以g(x)在x=0附近单调递减.
因为g(0)=0,
所以g(x)在x=0两侧附近的函数值异号.
也就是直线l在点(0,0)处穿过函数f(x)的图象.
参考该同学解答上述问题的过程,请你解答下面问题:
已知函数f(x)=x3﹣ax2,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线为l.若l在点P处穿过函数f(x)的图象,则a的值为( )
A.3 | B. | C.0 | D.﹣3 |
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名校
解题方法
5 . 请阅读下列2段材料:
材料1:若函数的导数仍是可导函数,则的导数成为的二阶导数,记为;若仍是可导函数,则的导数成为的三阶导数,记为;以此类推,我们可以定义阶倒数:设函数的阶导数仍是可导函数,则的导数称为的阶导数,记为,即.
材料2:帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的概念,如果分子是阶多项式,分母是阶多项式,那么帕德逼近就是阶的帕德逼近.
一般地,函数在处的阶帕德逼近函数定义为:且满足(其中为自然对数的底数).
请根据以上材料回答下列问题:
(1)求函数在处的阶帕德逼近函数;
(2)求函数在处的阶帕德逼近函数,并比较与的大小;
(3)求证:当时,恒成立.
材料1:若函数的导数仍是可导函数,则的导数成为的二阶导数,记为;若仍是可导函数,则的导数成为的三阶导数,记为;以此类推,我们可以定义阶倒数:设函数的阶导数仍是可导函数,则的导数称为的阶导数,记为,即.
材料2:帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的概念,如果分子是阶多项式,分母是阶多项式,那么帕德逼近就是阶的帕德逼近.
一般地,函数在处的阶帕德逼近函数定义为:且满足(其中为自然对数的底数).
请根据以上材料回答下列问题:
(1)求函数在处的阶帕德逼近函数;
(2)求函数在处的阶帕德逼近函数,并比较与的大小;
(3)求证:当时,恒成立.
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名校
解题方法
6 . 设函数在区间上可导,为函数的导函数.若是上的减函数,则称为上的“上凸函数”;反之,若为上的“上凸函数”,则是上的减函数.
(1)判断函数在上是否为“上凸函数”,并说明理由;
(2)若函数是其定义域上的“上凸函数”,求的取值范围;
(3)已知函数是定义在上的“上凸函数”,为曲线上的任意一点,求证:除点外,曲线上的每一个点都在点处切线的下方.
(1)判断函数在上是否为“上凸函数”,并说明理由;
(2)若函数是其定义域上的“上凸函数”,求的取值范围;
(3)已知函数是定义在上的“上凸函数”,为曲线上的任意一点,求证:除点外,曲线上的每一个点都在点处切线的下方.
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2024-04-01更新
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194次组卷
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2卷引用:吉林省吉林市吉化第一高级中学校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
名校
7 . 函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)已知函数,当函数的切线的斜率为负数时,求在轴上的截距的取值范围;
(3)设,若是函数在上的极值点,求证:.
(1)求函数的单调区间;
(2)已知函数,当函数的切线的斜率为负数时,求在轴上的截距的取值范围;
(3)设,若是函数在上的极值点,求证:.
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名校
8 . 函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若函数有两个极值点,曲线上两点,连线斜率记为k,求证:;
(3)盒子中有编号为1~100的100个小球(除编号外无区别),有放回的随机抽取20个小球,记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p,求证:.
(1)讨论的单调性;
(2)若函数有两个极值点,曲线上两点,连线斜率记为k,求证:;
(3)盒子中有编号为1~100的100个小球(除编号外无区别),有放回的随机抽取20个小球,记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p,求证:.
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2024-04-22更新
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1995次组卷
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5卷引用:江西省上饶市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷
名校
解题方法
9 . 微分中值定理是微积分学中的重要定理,它是研究区间上函数值变化规律的有效工具,其中拉格朗日中值定理是核心,它的内容如下:
如果函数在闭区间上连续,在开区间可导,导数为,那么在开区间内至少存在一点,使得,其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数.
(1)若,求函数在上的“拉格朗日中值点”;
(2)若,求证:函数在区间图象上任意两点,连线的斜率不大于;
(3)若,且,求证:.
如果函数在闭区间上连续,在开区间可导,导数为,那么在开区间内至少存在一点,使得,其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数.
(1)若,求函数在上的“拉格朗日中值点”;
(2)若,求证:函数在区间图象上任意两点,连线的斜率不大于;
(3)若,且,求证:.
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2024-05-28更新
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524次组卷
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4卷引用:江西省上饶市横峰中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
江西省上饶市横峰中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷2024届山西省高考三模数学试题(已下线)专题2 函数与导数新定义压轴大题(三)【讲】
解题方法
10 . 定义:对于空间向量,,其“导数积”为.已知空间向量,为常数,记.
(1)当时,证明:;
(2)若为的极大值点,求正实数的取值范围;
(3)设,,,且满足,,证明:.
(1)当时,证明:;
(2)若为的极大值点,求正实数的取值范围;
(3)设,,,且满足,,证明:.
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