1 . 已知函数.
(1)当时，证明：有且仅有一个零点；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)当时，证明：.

2 . 已知函数，其导函数为．
(1)求函数的极值点；
(2)若直线是曲线的切线，求的最小值；
(3)证明：．

3 . 已知函数的两个极值点分别为2，3.
(1)求，的值，并求出函数的极值；
(2)已知，求证：不等式在上恒成立.

4 . 函数.
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)当时，有恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：，.

5 . 已知函数.（其中 为自然对数的底数）
(1)当时，求函数在 处的切线方程;
(2)当时，若函数在上的最小值为，求实数的值;
(3)当时，证明：.

6 . 已知，函数有两个零点，记为，．
(1)证明：．
(2)对于，若存在，使得，求证：．

7 . 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，.其中，，…，.已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数a，b的值；
(2)设，证明：；
(3)已知是方程的三个不等实根，求实数的取值范围，并证明：.

8 . 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线可为双曲余弦函数的图象，类似的可定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出（不证明）双曲正弦函数的一个正确的结论：________；
(2)当时，比较与的大小，并说明理由；
(3)证明：

9 . 帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，已知函数.
(1)求函数在处的阶帕德近似.
(2)在（1）的条件下：     ①求证：；
②若恒成立，求实数的取值范围.

10 . 拉格朗日中值定理是微积分学的基本定理之一，它与导数和函数的零点有关，其表达如下：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得，我们将称为函数在上的“中值点”．已知函数，，．
(1)求在上的中值点的个数；
(2)若对于区间内任意两个不相等的实数，，都有成立，求实数t的取值范围．
(3)当且时，证明：．