1 . 给出下列两个定义：
I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

2 . 已知函数在定义域内有两个不同的零点，．
(1)求证：
(2)已知，若存在，不等式对任意的总成立，求的取值范围．

3 . 已知函数，
(1)当，和有相同的最小值，求的值；
(2)若有两个零点，求证：.

4 . 已知函数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；
(3)若实数满足且，证明：.

5 . ，不等式恒成立，求a的最小值是______

6 . 已知是自然对数的底数，函数，直线为曲线的切线，．
(1)求的单调区间；
(2)求的值；
(3)定义函数，在上单调递增，求实数的取值范围．

7 . 已知函数，，．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意的，恒成立，求整数a的最小值．

8 . 若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 已知函数.
(1)若，求实数的取值范围.
(2)求证：.

10 . 定义在上的函数满足，（若，则，为常数），则下列说法正确的是（       ）

A．在处取得极小值，极小值为

B．只有一个零点

C．若在上恒成立，则

D．