1 . 在中，．
(1)证明：为的重心．
(2)若，求的最大值，并求此时的长．

2 . 已知函数．
(1)当时，直接写出的单调区间（不要求证明），并求出的值域；
(2)设函数，若对任意，总有，使得，求实数的取值范围．

3 . 已知函数（，且）满足.
(1)求a的值；
(2)求证：在定义域内有且只有一个零点，且.

4 . 在中，向量，向量，且满足．
(1)证明，并求角的大小；
(2)求的取值范围．

5 . 已知函数，其中.
(1)若对任意实数，恒有，求的取值范围；
(2)是否存在实数，使得且？若存在，则求的取值范围；若不存在，则加以证明.

6 . 已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度.
（1）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；
（2） 已知关于的方程在内有两个不同的解、.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.