1 . 设数列的前项和为，，，数列满足：对于任意的，都有成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.

2 . 已知、是函数的图象上的任意两点，点在直线上，且．
（1）求的值及的值；
（2）已知，当时，，设，数列的前项和，若存在正整数，，使得不等式成立，求和的值；
（3）在（2）的条件下，设，求所有可能的乘积的和．

3 . 已知数列是以为公差的等差数列，数列是以为公比的等比数列.
（1）若数列的前项和为，且，，求整数的值；
（2）若，，，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；
（3）若，，（其中，且是的约数），求证：数列中每一项都是数列中的项.

4 . 已知数列，均为各项都不相等的数列，为的前n项和，．
若，求的值；
若是公比为的等比数列，求证：数列为等比数列；
若的各项都不为零，是公差为d的等差数列，求证：，，，，成等差数列的充要条件是．

5 . 设集合，其中.
（1）写出集合中的所有元素；
（2）设，证明“”的充要条件是“”
（3）设集合，设，使得，且，试判断“”是“”的什么条件并说明理由.

6 . 无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项、、、中等于的项的个数.
（1）若，求和的值；
（2）已知命题 存在正整数，使得，判断命题的真假并说明理由；
（3）若对任意正整数，都有恒成立，求的值.

7 . 设数列的各项都是正数，若对于任意的正整数，存在，使得、、成等比数列，则称函数为“型”数列.
（1）若是“型”数列，且，，求的值；
（2）若是“型”数列，且，，求的前项和；
（3）若既是“型”数列，又是“型”数列，求证：数列是等比数列.

8 . 正整数数列满足：，
（1）写出数列的前5项；
（2）将数列中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列，试用表示（不必证明）；
（3）求最小的正整数，使．

9 . 已知数列满足：，，.
（1）求的值；
（2）设，求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；
（3）对任意的，，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列：若不存在，请说明理由.

10 . 给定数列，若满足（且），对于任意，都有，则称数列为指数数列.
（1）已知数列、的通项公式分别为，，试判断、是不是指数数列（需说明理由）；
（2）若数列满足：，，，证明：是指数数列；
（3）若是指数数列，，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列.