1 . 设
是给定的正整数．对于数列
，
，…，
，令集合
．
(1)对于数列
，
，
，直接写出集合
；（用列举法表示）
(2)设常数
．若，，…，是以为首项，
为公差的等差数列，求证：集合的元素个数为
；
(3)若，，…，是等比数列，且
，公比
．求集合的元素个数，并求集合中所有元素之和．
是给定的正整数．对于数列，，…，，令集合．(1)对于数列
，，，直接写出集合；（用列举法表示）(2)设常数
．若，，…，是以为首项，为公差的等差数列，求证：集合的元素个数为；(3)若
，，…，是等比数列，且，公比．求集合的元素个数，并求集合中所有元素之和．
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2024高三·全国·专题练习
名校
解题方法
2 . 欧拉函数
的函数值等于所有不超过
且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如：
，
．记
，数列
的前项和为
，若
恒成立，则实数
的取值范围为______ ．
的函数值等于所有不超过且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如：，．记，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为
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2024-06-19更新
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212次组卷
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3卷引用：上海市民办南模中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
3 . 已知数列与
满足
（为非零常数），
(1)若是等差数列，求证：数列也是等差数列；
(2)若
，
，
，求数列的前2025项和；
(3)设
，
，
，
，求数列的最大项和最小项.
与满足（为非零常数），(1)若
是等差数列，求证：数列也是等差数列；(2)若
，，，求数列的前2025项和；(3)设
，，，，求数列的最大项和最小项.
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名校
解题方法
4 . 已知函数
及其导函数
的定义域均为
.设
，曲线在点
处的切线交
轴于点
.当
时，设曲线在点
处的切线交轴于点
.依此类推，称得到的数列
为函数关于
的“
数列”.
(1)若
，是函数关于
的“数列”，求
的值；
(2)若
，是函数关于
的“数列”，记
，证明：是等比数列，并求出其公比；
(3)若
，则对任意给定的非零实数
，是否存在
，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.
及其导函数的定义域均为.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点.依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”.(1)若
，是函数关于的“数列”，求的值；(2)若
，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比；(3)若
，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.
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2024-04-01更新
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675次组卷
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5卷引用：上海市浦东新区2024届高三下学期期中教学质量检测数学试卷
上海市浦东新区2024届高三下学期期中教学质量检测数学试卷（已下线）数学（上海卷02）（已下线）专题09 导数及其应用 压轴题（六大题型）-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（沪教版2020选择性必修，上海专用）广东省东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三下学期第五次六校联考数学试题甘肃省张掖市某校2024届高三下学期第三次模拟数学试卷
23-24高二上·上海·期末
名校
5 . 如果无穷项的数列
满足“对任意正整数
，都存在正整数k，使得
”，则称数列具有“性质P”．
(1)若数列是等差数列，首项
，公差
，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；
(2)若等差数列具有“性质P”，为首项，为公差．求证：
且
；
(3)若等比数列具有“性质P”，公比为正整数，且
这四个数中恰有两个出现在中，问这两个数所有可能的情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由．
满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”．(1)若数列
是等差数列，首项，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；(2)若等差数列
具有“性质P”，为首项，为公差．求证：且；(3)若等比数列
具有“性质P”，公比为正整数，且这四个数中恰有两个出现在中，问这两个数所有可能的情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由．
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2024-01-14更新
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385次组卷
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4卷引用：期末真题必刷压轴60题（22个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）
（已下线）期末真题必刷压轴60题（22个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）（已下线）第4章 数列 单元综合检测（难点）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）2024届高三新改革适应性模拟测试数学试卷六（九省联考题型）黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题
6 . 设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数
，使得
，则称是“
数列”．
(1)若数列
，
，判断和是否是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项，公差
．若是“数列”，求的值；
(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和
，使得
成立．
的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．(1)若数列
，，判断和是否是“数列”；(2)设
是等差数列，其首项，公差．若是“数列”，求的值；(3)证明：对任意的等差数列
，总存在两个“数列”和，使得成立．
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2023-12-25更新
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766次组卷
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4卷引用：上海市松江二中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
7 . 若存在常数
，使得数列满足
（，
），则称数列为“
数列”.
(1)判断数列：1，2，3，8，49是否为“
数列”，并说明理由；
(2)若数列是首项为
的“数列”，数列是等比数列，且与满足
，求的值和数列的通项公式；
(3)若数列是“数列”，为数列的前项和，
，
，试比较
与
的大小，并证明
.
，使得数列满足（，），则称数列为“数列”.(1)判断数列：1，2，3，8，49是否为“
数列”，并说明理由；(2)若数列
是首项为的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；(3)若数列
是“数列”，为数列的前项和，，，试比较与的大小，并证明.
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2023-12-14更新
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1324次组卷
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10卷引用：上海市普陀区2024届高考一模数学试题
上海市普陀区2024届高考一模数学试题（已下线）专题05 数列（四大类型题）15区新题速递（已下线）专题09 导数（三大类型题）15区新题速递2024届高三新改革数学模拟预测训练二（九省联考题型）（已下线）2024年高考数学全真模拟卷05（新题型地区专用）（已下线）黄金卷05（已下线）新高考预测卷（2024新试卷结构）（已下线）微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编湖南省长沙市四县区2024届高三下学期3月调研考试数学试卷（已下线）湖南省长沙市四县区2024届高三下学期3月调研考试数学试题变式题16-19
名校
解题方法
8 . 已知数列满足
，且
，若使不等式
成立的有且只有三项，则的取值范围为（ ）
满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为（ ）A． | B． |
C． | D． |
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2023-11-27更新
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693次组卷
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2卷引用：上海市行知中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
23-24高二上·上海·期末
名校
解题方法
9 . 等差数列的通项是
，等比数列满足
，
，其中
，且、
、
均为正整数.有关数列，有如下四个命题：
①存在、，使得数列的所有项均在数列中；
②存在、，使得数列仅有有限项（至少1项）不在数列中；
③存在、，使得数列的某一项的值为2023；
④存在、，使得数列的前若干项的和为2023.
其中正确的命题个数是（ ）个
的通项是，等比数列满足，，其中，且、、均为正整数.有关数列，有如下四个命题：①存在
、，使得数列的所有项均在数列中；②存在
、，使得数列仅有有限项（至少1项）不在数列中；③存在
、，使得数列的某一项的值为2023；④存在
、，使得数列的前若干项的和为2023.其中正确的命题个数是（ ）个
| A．0 | B．1 | C．2 | D．3 |
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名校
解题方法
10 . 已知数列中，前项和为，若对任意的
，均有
（
是常数，且
）成立，则称数列为“
数列”.
(1)若数列为“
数列”，求数列的前项和；
(2)若数列为“
数列”，求证：
；
(3)若数列为“数列”，且为整数，试问：是否存在数列，使得
对一切
，恒成立？如果存在，求出这样数列的的所有可能值，如果不存在，请说明理由.
中，前项和为，若对任意的，均有（是常数，且）成立，则称数列为“数列”.(1)若数列
为“数列”，求数列的前项和；(2)若数列
为“数列”，求证：；(3)若数列
为“数列”，且为整数，试问：是否存在数列，使得对一切，恒成立？如果存在，求出这样数列的的所有可能值，如果不存在，请说明理由.
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