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解题方法
1 . 已知数列
满足
，
（
，
）.又数列
满足
.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若数列是严格增数列，求
的取值范围.
满足，（，）.又数列满足.(1)求证：数列
是等比数列；(2)若数列
是严格增数列，求的取值范围.
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解题方法
2 . 老李是当地有名的养鱼技术能手，准备承包一个渔场，并签订合同，经过测算研究，预测第一年鱼重量增长率
，以后每年的重量增长率是前一年重量增长率的一半，但同时因鱼的生长，会导致水中的含氧量减少，鱼生长缓慢，为确保鱼的正常生长，只要水中的含氧量保持在某水平线以上。现知道水中含氧量第一年为8个单位，经科技人员处了解到鱼正常生长，到第三年水中含氧量为
个单位，含氧量y与年份x的函数模型为
，当含氧量少于
个单位，鱼虽然依然生长，但会损失
的总重量，当某一年的总重量比上一年总重量开始减少时就应该适时捕捞，此时也是签合同适宜的最短时间.
(1)试求出含氧量模型函数关系式；
(2)试求出第几年开始鱼生长因含氧量关系导致会缓慢并出现损失；
(3)求出第
年鱼的总重量
与第n年鱼的总重量
的关系式
不用证明关系式，n为整数
，并求出签合同适宜的最短时间是多少年?
，以后每年的重量增长率是前一年重量增长率的一半，但同时因鱼的生长，会导致水中的含氧量减少，鱼生长缓慢，为确保鱼的正常生长，只要水中的含氧量保持在某水平线以上。现知道水中含氧量第一年为8个单位，经科技人员处了解到鱼正常生长，到第三年水中含氧量为个单位，含氧量y与年份x的函数模型为，当含氧量少于个单位，鱼虽然依然生长，但会损失的总重量，当某一年的总重量比上一年总重量开始减少时就应该适时捕捞，此时也是签合同适宜的最短时间.(1)试求出含氧量模型函数关系式；
(2)试求出第几年开始鱼生长因含氧量关系导致会缓慢并出现损失；
(3)求出第
年鱼的总重量与第n年鱼的总重量的关系式不用证明关系式，n为整数，并求出签合同适宜的最短时间是多少年?
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2023高一·全国·专题练习
3 . 已知函数
的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧．
(1)求实数m的取值范围：
(2)令
，求
的值：（其中
表示不超过t的最大整数，例如：
，
）.
(3)对（2）中的t，求函数
的取值范围．
的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧．(1)求实数m的取值范围：
(2)令
，求的值：（其中表示不超过t的最大整数，例如：，）.(3)对（2）中的t，求函数
的取值范围．
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解题方法
4 . 设等差数列的前
项和为
，且
．
(1)求数列的通项公式；
(2)若
，数列的前项和为
，若
对
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，问是否存在正整数
，使得
成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的数组
；若不存在，请说明理由．
的前项和为，且．(1)求数列
的通项公式；(2)若
，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围；(3)若
，问是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的数组；若不存在，请说明理由．
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5 . 已知无穷数列的各项均为整数．设数列的前项和为，记
中奇数的个数为
．
(1)若
，试写出数列的前5项；
(2)证明：“
为奇数，且
为偶数”是“数列为严格增数列”的充分非必要条件；
(3)若
（
为正整数），求数列的通项公式．
的各项均为整数．设数列的前项和为，记中奇数的个数为．(1)若
，试写出数列的前5项；(2)证明：“
为奇数，且为偶数”是“数列为严格增数列”的充分非必要条件；(3)若
（为正整数），求数列的通项公式．
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6 . 某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为
．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高
，产品合格率比前一个月提高
．
(1)求今年1月到12月该消毒剂的总产量；（精确到1升）
(2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内?
．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月提高．(1)求今年1月到12月该消毒剂的总产量；（精确到1升）
(2)从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在100升以内?
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7 . 某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自
年
月以来的第个月（年月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量
内销量与出口量的和）分别为和
（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：
，
（其中、
为常数），已知
万件，
万件，
万件.
(1)求、的值，并写出与满足的关系式；
(2)利用数学归纳法证明销售总量一直小于
万件，并判断总销量是否逐月递增，说明理由.
年月以来的第个月（年月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量内销量与出口量的和）分别为和（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：，（其中、为常数），已知万件，万件，万件.(1)求
、的值，并写出与满足的关系式；(2)利用数学归纳法证明销售总量
一直小于万件，并判断总销量是否逐月递增，说明理由.
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8 . 已知数列的前项和
.
(1)求数列的通项公式；
(2)若
，求数列的最大项是该数列的第几项；
(3)若
，且数列
是严格递增数列，求实数
的取值范围.
的前项和.(1)求数列
的通项公式；(2)若
，求数列的最大项是该数列的第几项；(3)若
，且数列是严格递增数列，求实数的取值范围.
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9 . 已知数列
满足，
.
(1)计算
的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)设
，
为整数，不等式
对一切且均成立，求的最大值.
满足，.(1)计算
的值；(2)求数列
的通项公式；(3)设
，为整数，不等式对一切且均成立，求的最大值.
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10 . 已知等差数列的首项
为首项2的等比数列，且公比大于0.
.
(1)分别求
的通项公式；
(2)求数列
的前项和；
(3)令
，判断有无最大项，若有指出第几项最大，求最大项的值.
的首项为首项2的等比数列，且公比大于0..(1)分别求
的通项公式；(2)求数列
的前项和；(3)令
，判断有无最大项，若有指出第几项最大，求最大项的值.
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