1 . 在数列中，已知.
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)设，若数列与的公共项为，记由小到大构成数列，求的前项和.

2 . 已知数列满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．

3 . 设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．
(1)若数列，，判断和是否是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项，公差．若是“数列”，求的值；
(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．

4 . 在①，②其前项和为，③其前项和为，三个条件中任选一个，补充到横线处，并解答.已知数列为等差数列，
(1)求数列的通项公式.
(2)若，证明数列的前项和满足.

5 . 已知数列的前n项和.
(1)求证：是等差数列；
(2)求数列的前n项和.

6 . 已知各项均为正数的数列满足，且．
(1)若，求证是等比数列；
(2)求的通项公式．

7 . 数列有项，，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质.
(1)若，求可能的值；
(2)若不为等差数列，求证：中存在满足性质；
(3)若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用表示.

8 . 记为数列的前n项和．已知.
(1)求证：是等差数列；
(2)若是，的等比中项，求的最小值．

9 . 已知数列满足，且对任意都有.
(1)设，证明：是等差数列；
(2)设，求数列的前项和.

10 . 已知数列的首项，前项和为，且.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)令，求函数在处的导数.