1 . 已知数列各项均为正数，且，．
(1)求的通项公式；
(2)记数列前项的和为，求．

2 . 已知数列的前项和为
(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

3 . 已知递增数列的前n项和为，且满足，设，，且数列的前n项和为．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)试求所有的正整数m，使得为整数；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

4 . 已知数列满足．
(1)若数列满足，证明：是常数数列；
(2)若数列满足，求的前项和．

5 . 已知数列A：a₁，a₂，…，a_N的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
(1)①若数列A：1，2，4，5，求集合T，并写出的值；
②若数列A：1，3，x，y，且，，求数列A和集合T；
(2)若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”；
(3)请你判断是否存在最大值，并说明理由．

6 . 已知数列中，其前项和记为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设无穷数列，，…，…对任意自然数和，不等式均成立，证明：数列是等差数列．

7 . 已知数列的前n项和为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列的前n项积为，若，求数列的通项公式．

8 . 设数列的前项之积为，且满足．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，证明：．

9 . 已知数列满足，．
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若记为满足不等式的正整数的个数，数列的前项和为，求关于的不等式的最大正整数解．

10 . 已知数列满足，若，则__________．