1 . 已知各项为正数的数列的前项和为，且.
(1)设，求数列的前项和为；
(2)设为非零整数，，是否存在确定的值，使得对任意，有恒成立若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

2 . 从①，②，③前项和满足中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.
已知数列的首项，且__________.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

3 . 若项数为的有穷数列满足：，且对任意的，或是数列中的项，则称数列具有性质．

(1)判断数列是否具有性质，并说明理由；
(2)设数列具有性质，是中的任意一项，证明：一定是中的项；
(3)若数列具有性质，证明：当时，数列是等差数列．

4 . 设数列的各项都为正数，且．
(1)证明数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和．

5 . 著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛．其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，，且，则 ____．

6 . 已知数列满足，.
(1)设，证明：是等差数列；
(2)设数列的前项和为，求.

7 . 已知数列满足，是数列的前n项和且，则______．

8 . 已知数列{}的前n项和为，，给出以下三个条件:①；②{}是等差数列；③.
(1)从三个条件中选取两个，证明另外一个成立；
(2)利用（1）中的条件，求证:数列的前n项和.

9 . 已知数列满足，，其中.
(1)设，求证：数列是等差数列.
(2)在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

10 . 记数列的前n项和为，对任意，有．
(1)证明：是等差数列；
(2)若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围．