1 . 容器A内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4升质量分数为5%的盐水溶液，先将A内的盐水倒1升进入B内，再将B内的盐水倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次，A、B容器内的盐水的质量分数分别为a_n，b_n.
（1）求a₁，b₁，并证明{a_n－b_n}是等比数列；
（2）至少操作多少次，A、B两容器内的盐水浓度之差小于1%？(取lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)；
（3）求a_n，b_n的表达式．

2 . 已知数列，其前项和为.
①数列是等差数列，
②（其中常数），
③三点共线，
④数列是等比数列.
从四个命题中选一个命题作为条件，另一个命题作为结论制作一个正确命题，并证明.

3 . 有一对夫妻打算购房，对本城市30个楼盘的均价进行了统计，得到如下频数分布表：

均价（单位：千元）
频数	2	2	11	10	4	1

（1）若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一个楼盘的均价，假定，求均价恰在8.12千元到9.24千元之间的概率；
（2）经过一番比较，这对夫妻选定了一个自己满意的楼盘，恰巧该楼盘推出了趣味蹦台阶送忧惠活动，由两个客户配合完成该活动，在一个口袋中有大小材质均相同的红球40个，黑球20个，客户甲可随机从口袋中取出一个球，取后放回，若取出的是红球，则客户乙向上蹦两个台阶，若取出的是黑球，则客户乙向上蹦一个台阶，直到客户乙蹦上第5个台阶（每平方米优惠0.3千元）或第6个台阶（每平方米优惠3千元）时（活动开始时的位置记为第0个台阶），游戏结束.
①设客户乙站到第个台阶的概率为，证明：当时，数列是等比数列；
②若不参加蹦台阶活动，则直接每平方米优惠1.4千元，为了获得更大的优惠幅度，请问该对夫妻是否应参与蹦台阶活动.
参考数据：取，.若，则，，.

4 . 下列说法中：
①在中，若，则；
②已知数列为等差数列，若（，，，），则；
③已知数列､为等比数列，则数列､也为等比数列；
④若，则函数的最大值为；
其中正确的是（       ）

A．①③

B．②④

C．②③

D．①④

5 . 容器A中盛有浓度为a%的农药mL，容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a>b)，先将A中农药的倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%？

6 . 等比数列中，，公比，则下列结论正确的是（       ）

A．数列中的所有偶数项可以组成一个公比为的等比数列

B．设数列的前项和为，对，，恒成立

C．数列是递增数列

D．数列是首项和公差都小于0的等差数列

7 . 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为．
（i）证明：为等比数列；
（ii）证明：当时，．

8 . 设公差不为0的等差数列的前项和为，则有成等差数列.类比上述性质，若公比不为1的等比数列的前项积为，则有（       ）

A．成等比数列

B．成等比数列

C．成等比数列

D．成等比数列

9 . 已知等比数列的公比为2，且，，成等差数列，则下列命题正确的是（       ）

A．；	B．，，成等差数列
C．是等比数列；	D．，，，，，成等差数列

10 . 某种玩具启动后，该玩具上的灯会亮起红灯或绿灯(红灯和绿灯不会同时亮起)，第1次亮灯时，亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为.若第n次亮起的是红灯，则第次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为.记第n次亮灯时，亮起红灯的概率为.该玩具启动前可输入，玩具启动后，当且第n次亮起红灯时，该玩具会唱一首歌曲，否则不唱歌.
（1）若输入，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮起红灯的次数为X，求X的分布列和期望；
（2）若输入，
（i）求数列的通项公式；
（ii）该玩具启动后，在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？