1 . 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线可为双曲余弦函数的图象，类似的可定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出（不证明）双曲正弦函数的一个正确的结论：________；
(2)当时，比较与的大小，并说明理由；
(3)证明：

2 . 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）发现的泰勒公式（又称夌克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，表示的二阶导数，即为的导数，表示的阶导数．
(1)根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）
(2)由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；
(3)已知，证明：．

4 . 已知数列满足，，且，则下列说法正确的是（       ）

A．，

B．是递增数列

C．

D．，，

5 . 高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（       ）

A．2026

B．2025

C．2024

D．2023

6 . 已知．
(1)求函数的极值；
(2)求证：对任意正整数n，有；
(3)记，求整数a，使得．

7 . 对于数列，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有，则称数列为有界数列；若这样的正数M不存在，则称数列为无界数列．下列说法正确的有（       ）

A．等比数列的公比为，若，则是有界数列

B．若数列的通项，则是有界数列

C．若正项数列满足：，则是无界数列

D．若数列满足：，且，则是有界数列

8 . 已知函数，.
(1)证明：当时，；
(2)若，求a的取值范围；
(3)证明：.

10 . 数列满足，，则下列说法正确的是（       ）

A．若且，数列单调递减

B．若存在无数个自然数，使得，则

C．当或时，的最小值不存在

D．当时，